部分積分の演習プリント

入っている問題

1. 次の不定積分を求めよ。 (1) $\displaystyle\int xe^x\,dx$ (2) $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ (3) $\displaystyle\int x\sin 2x\,dx$
2. 次の不定積分を求めよ。 (1) $\displaystyle\int \log x\,dx$ (2) $\displaystyle\int x\log x\,dx$
3. 部分積分を 2 回使って、$\displaystyle\int x^2e^x\,dx$ を求めよ。
4. $\displaystyle\int (2x + 1)e^{2x}\,dx$ を求めよ。
5. 次の定積分を求めよ。 (1) $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$ (2) $\displaystyle\int_1^e x\log x\,dx$
6. $\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ を求めよ。
7. $I = \displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ とする。部分積分を 2 回使うと $I$ が再び現れることを利用して、$I$ を求めよ。
8. 曲線 $y = (x + 1)e^{-x}$ と $x$ 軸、$y$ 軸、直線 $x = 1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

プリントの上にのせている公式

部分積分

$\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$

選び方

$\log x$ があれば $\log x$ を $f(x)$ に。なければ多項式を $f(x)$、$e^x$・$\sin x$・$\cos x$ を $g'(x)$ にする

定積分

$\displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \Bigl[f(x)g(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$

対数

$\log x = (\log x) \cdot 1$ とみて、$g'(x) = 1$ とする

使ってよい範囲

• 学校・塾・家庭で、人数に関係なく無料で使えます。申請は要りません。
• 印刷して配っても、PDF のまま Google Classroom などで配っても大丈夫です。
• お願いは 2 つです。右下の QR と「Derivon」の名前を消さないでください。プリントそのものを販売しないでください。

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