部分積分

積の微分 $(fg)'=f'g+fg'$ を積分して並べ替えたものが部分積分です。

どちらを微分する側にするかが肝で、微分すると簡単になるほう($x$ や $\log x$)を $f$ にします。$x\log x$ なら $\log x$ を微分する側に選びます。

例題

1. 01$uv$ の部分は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int x e^x \, dx \\[6pt] \displaystyle (u=x,\; v'=e^{x} \;\Rightarrow\; v=e^{x}) \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x e^x$

   解き方

   1. $v$ は $v'$ を積分したもの。それに $u$ を掛ける
   2. $\displaystyle x \cdot e^{x}$$\displaystyle = x e^x$
2. 02$\int u'v\,dx$ は？（$C$ は省く）$\displaystyle \int x \log_e x \, dx = \frac{x^{2}}{2} \log_e x - \int u'v \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{x^{2}}{4}$

   解き方

   1. $u=\log_e x$ を微分すると $u'=\dfrac{1}{x}$。$v=\dfrac{x^{2}}{2}$ なので
   2. $\displaystyle \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} \, dx$$\displaystyle = \frac{x^{2}}{4}$
3. 03積分せよ$\displaystyle \int x \sin x \, dx = -x \cos x - (-\sin x)$答え閉じる

   答え$\displaystyle -x \cos x + \sin x+C$
4. 04$uv$ の部分は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int x \log_e x \, dx \\[6pt] \displaystyle (u=\log_e x,\; v'=x \;\Rightarrow\; v=\frac{x^{2}}{2}) \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{x^{2}}{2} \log_e x$

   解き方

   1. $v$ は $v'$ を積分したもの。それに $u$ を掛ける
   2. $\displaystyle (\log_e x) \cdot \frac{x^{2}}{2}$$\displaystyle = \frac{x^{2}}{2} \log_e x$
5. 05$uv$ の部分は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int x \sin x \, dx \\[6pt] \displaystyle (u=x,\; v'=\sin x \;\Rightarrow\; v=-\cos x) \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle -x \cos x$

   解き方

   1. $v$ は $v'$ を積分したもの。それに $u$ を掛ける
   2. $\displaystyle x \cdot (-\cos x)$$\displaystyle = -x \cos x$
6. 06$\int u'v\,dx$ は？（$C$ は省く）$\displaystyle \int \log_e x \, dx = x \log_e x - \int u'v \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle x$

   解き方

   1. $u=\log_e x$ を微分すると $u'=\dfrac{1}{x}$。$v=x$ なので
   2. $\displaystyle \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx$$\displaystyle = x$

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よくある質問