数III 積分

部分積分

部分積分は ∫fg′ dx=fg−∫f′g dx\int f g'\,dx=fg-\int f' g\,dx で、積の微分法を逆向きに使う積分の方法です。

∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx\begin{gathered} \int f(x)g'(x)\,dx \\[4pt] =f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx \end{gathered}

積の微分 (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg' を積分して並べ替えたものが部分積分です。

∫fg′ dx=fg−∫f′g dx\int f g'\,dx=fg-\int f' g\,dx

どちらを微分する側にするかが肝で、微分すると簡単になるほう(xx や log⁡x\log x)を ff にします。xlog⁡xx\log x なら log⁡x\log x を微分する側に選びます。

例題

  1. 01f(-1) は？f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2答え閉じる
    答え1\displaystyle 1
  2. 02uvuv の部分は？∫xex dx(u=x,  v′=ex  ⇒  v=ex)\displaystyle \int x e^x \, dx \quad (u=x,\; v'=e^{x} \;\Rightarrow\; v=e^{x})答え閉じる
    答えxex\displaystyle x e^x
  3. 03f(0) は？f(x)=3x+3\displaystyle f(x)=3x+3答え閉じる
    答え3\displaystyle 3
  4. 04uvuv の部分は？∫xlog⁡ex dx(u=log⁡ex,  v′=x  ⇒  v=x22)\displaystyle \int x \log_e x \, dx \quad (u=\log_e x,\; v'=x \;\Rightarrow\; v=\frac{x^{2}}{2})答え閉じる
    答えx22log⁡ex\displaystyle \frac{x^{2}}{2} \log_e x
  5. 05uvuv の部分は？∫xsin⁡x dx(u=x,  v′=sin⁡x  ⇒  v=−cos⁡x)\displaystyle \int x \sin x \, dx \quad (u=x,\; v'=\sin x \;\Rightarrow\; v=-\cos x)答え閉じる
    答え−xcos⁡x\displaystyle -x \cos x
  6. 06∫u′v dx\int u'v\,dx は？（CC は省く）∫xlog⁡ex dx=x22log⁡ex−∫u′v dx\displaystyle \int x \log_e x \, dx = \frac{x^{2}}{2} \log_e x - \int u'v \, dx答え閉じる
    答えx24\displaystyle \frac{x^{2}}{4}

よくある質問

Q1f と g' の選び方は？答えを見る閉じる
A
微分すると簡単になるほうを f にします。log⁡x\log x や x は微分すると簡単になるので f 側、exe^x や sin⁡x\sin x は積分しやすいので g′g' 側です。

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積の微分∫x^n dx の公式
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公開 2026-09-03 · 最終更新 2026-09-05