微分積分の問題集

01基礎の復習12単元

1. 1-1直線の傾き$\displaystyle a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\quad(x_1\neq x_2)$例題 6問 · パターン 5→
2. 1-2f(x) 記法と代入$\displaystyle f(x)=x^2\ \Rightarrow\ f(-4)=(-4)^2=16$例題 6問 · パターン 3→
3. 1-3直線の式 y=a(x−p)+q$\displaystyle y=a(x-p)+q$例題 6問 · パターン 6→
4. 1-4式の展開 (a+b)² と (a+b)³$\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$例題 6問 · パターン 5→
5. 1-5共通因数でくくって約分$\displaystyle \frac{ah^2+bh}{h}=\frac{h(ah+b)}{h}=ah+b\quad(h\neq 0)$例題 6問 · パターン 3→
6. 1-6二次方程式を解く$\displaystyle ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)\ \Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$例題 6問 · パターン 4→
7. 1-7根号の計算と分母の有理化$\displaystyle (\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)=a-b^2$例題 6問 · パターン 4→
8. 1-8グラフの平行移動$\displaystyle y=(x-p)^2+q$例題 6問 · パターン 6→
9. 1-9指数法則・指数関数$\displaystyle a^m a^n=a^{m+n}$例題 6問 · パターン 5→
10. 1-10三角関数と弧度法$\displaystyle 180^\circ=\pi\ \text{rad}$例題 6問 · パターン 6→
11. 1-11三角関数の相互関係と2倍角$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$例題 6問 · パターン 6→
12. 1-12対数の定義$\displaystyle \log_a b=c \iff a^c=b$例題 6問 · パターン 6→

02数II 微分14単元

1. 2-1平均変化率$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$例題 6問 · パターン 1→
2. 2-2区間を縮める(h→0 の実験)$\displaystyle \frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h\ \to\ 2a\quad(h\to 0)$例題 6問 · パターン 3→
3. 2-3差分商と 0 で割れない壁$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(h\neq 0)$例題 6問 · パターン 6→
4. 2-4微分係数 f'(a) の定義$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$例題 5問 · パターン 5→
5. 2-5導関数 f'(x)$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$例題 6問 · パターン 4→
6. 2-6定義から xⁿ を微分する$\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}$例題 5問 · パターン 2→
7. 2-7べき則と定数倍・和差の微分$\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}$例題 5問 · パターン 2→
8. 2-8接線の式$\displaystyle y=f'(a)(x-a)+f(a)$例題 6問 · パターン 3→
9. 2-9曲線外の点から引いた接線$\displaystyle y-f(t)=f'(t)(x-t)\quad\Rightarrow\quad q-f(t)=f'(t)(p-t)$例題 6問 · パターン 6→
10. 2-10f' の符号と増減$\displaystyle f'(x)>0 \Rightarrow \text{増加}$例題 6問 · パターン 3→
11. 2-11極大・極小$\displaystyle f'(a)=0,\ f':\ +\to -\ \Rightarrow\ \text{極大}$例題 6問 · パターン 4→
12. 2-123次関数のグラフの概形$\displaystyle f'\text{ の符号が }+\to-\ \Rightarrow\ \text{極大}$例題 6問 · パターン 3→
13. 2-13閉区間での最大・最小$\displaystyle \text{候補}:\ f(a),\ f(b),\ f(x_0)$例題 6問 · パターン 5→
14. 2-14方程式の実数解の個数$\displaystyle (\text{方程式 } f(x)=k \text{ の実数解の個数})$例題 6問 · パターン 4→

03数II 積分14単元

1. 3-1原始関数（微分の逆演算）$\displaystyle F'(x)=f(x) \iff \int f(x)\,dx=F(x)+C$例題 6問 · パターン 3→
2. 3-2∫xⁿ dx の公式$\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1)$例題 5問 · パターン 2→
3. 3-3定数倍・和差の積分（多項式）$\displaystyle \int kf\,dx=k\int f\,dx$例題 6問 · パターン 3→
4. 3-4面積を短冊で近似する$\displaystyle S\approx\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\,\Delta x$例題 6問 · パターン 3→
5. 3-5面積と原始関数$\displaystyle S(x)=\int_0^x f(t)\,dt \;\Rightarrow\; S'(x)=f(x)$例題 6問 · パターン 4→
6. 3-6定積分 F(b)−F(a)$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$例題 6問 · パターン 5→
7. 3-7定積分の性質$\displaystyle \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$例題 6問 · パターン 4→
8. 3-8符号つき面積$\displaystyle f(x)\le 0 \text{ の区間では } \int_a^b f(x)\,dx\le 0$例題 6問 · パターン 4→
9. 3-9偶関数・奇関数の定積分$\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\begin{cases} 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx & (\text{偶関数}) \\ 0 & (\text{奇関数}) \end{cases}$例題 6問 · パターン 5→
10. 3-102 曲線の間の面積$\displaystyle S=\int_a^b \{f(x)-g(x)\}\,dx\quad(f(x)\ge g(x))$例題 6問 · パターン 3→
11. 3-11交点を求めてから面積$\displaystyle f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ x=\alpha,\ \beta$例題 6問 · パターン 4→
12. 3-121/6 公式$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$例題 6問 · パターン 4→
13. 3-13定積分で表された関数の微分$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\quad(a\ \text{は定数})$例題 6問 · パターン 5→
14. 3-14定積分を含む関数の決定$\displaystyle f(x)=g(x)+\int_a^b f(t)\,dt\ \Rightarrow\ \int_a^b f(t)\,dt=k\ (\text{定数})\text{ とおく}$例題 6問 · パターン 4→

04数III 微分31単元

1. 4-1数列の極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$例題 6問 · パターン 5→
2. 4-2無限等比級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\quad(|r|<1)$例題 6問 · パターン 5→
3. 4-3分数関数のグラフ$\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+q\quad(k\neq 0):\quad x=p,\ y=q\ \text{が漸近線}$例題 6問 · パターン 4→
4. 4-4無理関数のグラフ$\displaystyle y=a\sqrt{x-p}+q\quad(a\neq 0):\quad x\ge p$例題 6問 · パターン 5→
5. 4-5逆関数の意味$\displaystyle f(a)=b\iff f^{-1}(b)=a$例題 6問 · パターン 2→
6. 4-60/0 型の極限$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{(x-a)g(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}g(x)$例題 6問 · パターン 5→
7. 4-7x→∞ の極限(収束と発散)$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{ax^m+\cdots}{bx^n+\cdots}=\begin{cases}0 & (m<n)\\ \frac{a}{b} & (m=n)\\ \pm\infty & (m>n)\end{cases}$例題 6問 · パターン 4→
8. 4-8漸近線$\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+q\quad(k\neq 0)\ \Rightarrow\ x=p,\ \ y=q$例題 6問 · パターン 4→
9. 4-9関数の連続性(左極限と右極限)$\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)$例題 6問 · パターン 4→
10. 4-10微分可能性$\displaystyle \lim_{h\to +0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to -0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$例題 6問 · パターン 4→
11. 4-11sin x/x の極限$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$例題 6問 · パターン 3→
12. 4-12sin x, cos x の微分$\displaystyle (\sin x)'=\cos x$例題 6問 · パターン 6→
13. 4-13tan x の微分$\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$例題 6問 · パターン 6→
14. 4-14eˣ の微分$\displaystyle (e^x)'=e^x,\qquad (a^x)'=a^x\log a$例題 6問 · パターン 6→
15. 4-15log x の微分$\displaystyle (\log x)'=\frac{1}{x}$例題 6問 · パターン 6→
16. 4-16積の微分$\displaystyle (fg)'=f'g+fg'$例題 6問 · パターン 6→
17. 4-17商の微分$\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$例題 6問 · パターン 2→
18. 4-18合成関数の意味 f(g(x))$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$例題 6問 · パターン 3→
19. 4-19合成関数の微分$\displaystyle \{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)$例題 6問 · パターン 6→
20. 4-20逆関数の微分$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\,\dfrac{dx}{dy}\,}$例題 6問 · パターン 4→
21. 4-211/x と √x の微分$\displaystyle (x^r)'=rx^{r-1}$例題 6問 · パターン 3→
22. 4-22対数微分法$\displaystyle (\log y)'=\frac{y'}{y}$例題 6問 · パターン 6→
23. 4-23第 2 次導関数$\displaystyle f''(x)=\{f'(x)\}'$例題 6問 · パターン 3→
24. 4-24凹凸と変曲点$\displaystyle f''(x)>0 \Rightarrow \text{下に凸}$例題 6問 · パターン 4→
25. 4-25数IIIの関数の増減と概形$\displaystyle (x^n e^{-x})'=x^{n-1}(n-x)e^{-x}$例題 6問 · パターン 5→
26. 4-26媒介変数表示の微分$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\quad\left(\frac{dx}{dt}\neq 0\right)$例題 5問 · パターン 4→
27. 4-27陰関数の微分$\displaystyle \frac{d}{dx}f(y)=f'(y)\,\frac{dy}{dx}$例題 6問 · パターン 3→
28. 4-28法線$\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\quad(f'(a)\ne 0)$例題 6問 · パターン 4→
29. 4-29速度・加速度$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}$例題 6問 · パターン 4→
30. 4-30一次近似式$\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$例題 6問 · パターン 5→
31. 4-31平均値の定理$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\quad(a<c<b)$例題 6問 · パターン 5→

05数III 積分14単元

1. 5-1三角関数の積分$\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C$例題 6問 · パターン 6→
2. 5-2指数関数の積分$\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C$例題 6問 · パターン 5→
3. 5-3∫1/x dx = log|x| + C$\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\log|x|+C$例題 6問 · パターン 6→
4. 5-4(ax+b) 型の置換積分$\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx=\frac{1}{a}\cdot\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$例題 6問 · パターン 2→
5. 5-5置換積分$\displaystyle \int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt\quad(t=g(x))$例題 6問 · パターン 4→
6. 5-6部分分数分解と積分$\displaystyle \frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}\right)\quad(a\neq b)$例題 6問 · パターン 3→
7. 5-7三角関数による置換 (x=a sinθ 型)$\displaystyle x=a\sin\theta\ \left(a>0,\ -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right)$例題 6問 · パターン 5→
8. 5-8部分積分$\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$例題 6問 · パターン 6→
9. 5-9定積分の置換積分法$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\,g'(t)\,dt$例題 6問 · パターン 4→
10. 5-10定積分の部分積分法$\displaystyle \int_{a}^{b} uv'\,dx=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'v\,dx$例題 6問 · パターン 6→
11. 5-11区分求積法$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$例題 6問 · パターン 4→
12. 5-12回転体の体積$\displaystyle V=\pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$例題 6問 · パターン 3→
13. 5-13曲線の長さ$\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$例題 6問 · パターン 6→
14. 5-14媒介変数表示の曲線と面積$\displaystyle S=\int_a^b y\,dx=\int_{\alpha}^{\beta} y\,\frac{dx}{dt}\,dt$例題 6問 · パターン 6→

最終更新 2026-10-16