方程式・不等式への応用の演習プリント

入っている問題

1. 方程式 $x^3 - 3x + 1 = 0$ の異なる実数解の個数を求めよ。
2. 次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。 (1) $x^3 - 6x^2 + 9x - 5 = 0$ (2) $2x^3 + 3x^2 - 12x + 7 = 0$
3. $a$ を定数とする。方程式 $x^3 - 3x^2 - a = 0$ の異なる実数解の個数を、$a$ の値によって分類せよ。
4. 方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる 3 つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
5. 3 次方程式 $x^3 - 3x^2 + k = 0$ が異なる 3 つの実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を、極大値と極小値の積を使って求めよ。
6. $x \geqq 0$ のとき、不等式 $x^3 + 4 \geqq 3x^2$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つときの $x$ の値を求めよ。
7. $x \geqq 0$ のすべての $x$ について $x^3 - 3x + a \geqq 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
8. 曲線 $y = x^3 - 2x$ と直線 $y = 10x + a$ が異なる 3 点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

プリントの上にのせている公式

実数解

方程式 $f(x) = a$ の実数解の個数は、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しい

定数分離

文字 $a$ を含む方程式は、$f(x) = a$ の形に直せるときは直してから、グラフで考える

3 つの解

3 次関数 $f(x)$ が極値をもつとき、$f(x) = 0$ が異なる 3 つの実数解をもつのは (極大値)$\times$(極小値)$< 0$ のとき

不等式

ある範囲で $f(x) \geqq 0$ を示すには、増減を調べて、その範囲での $f(x)$ の最小値が 0 以上であることを示す

使ってよい範囲

• 学校・塾・家庭で、人数に関係なく無料で使えます。申請は要りません。
• 印刷して配っても、PDF のまま Google Classroom などで配っても大丈夫です。
• お願いは 2 つです。右下の QR と「Derivon」の名前を消さないでください。プリントそのものを販売しないでください。

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