方程式の実数解の個数

3次関数が極大値と極小値を持つとき、$x$ 軸に平行な直線 $y=k$ を上下に動かして、グラフと交わる回数を数えます。

$k$ が極大値か極小値に等しいと直線がグラフに接して2個、極大値より大きいか極小値より小さいと1個です。たとえば $x=2$ で極大値 $5$、$x=4$ で極小値 $1$ の3次関数では、$f(x)=0$ の右辺 $0$ は極小値 $1$ より小さいので、実数解は1個です。

例題

1. 01x=0 で極大値 1、x=2 で極小値 -2 の3次関数。解が3個になる □ は？$\displaystyle \square < k < 1$答え閉じる

   答え$\displaystyle -2$

   解き方

   1. 3個になるのは山と谷の間
   2. $\displaystyle -2$$\displaystyle < k < 1$
   3. 入るのは極小 値。x = 2 ではない
2. 02x=1 で極大値 7、x=4 で極小値 3 の3次関数。解が3個の k は？$\displaystyle f(x)=k$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3<k<7$

   解き方

   1. 両端で何個になるか見る
   2. $\displaystyle k = 7$$\displaystyle \Rightarrow 2$$\displaystyle k = 3$$\displaystyle \Rightarrow 2$
   3. 端では接して2個。だから等号は入らない
3. 03x=2 で極大値 5、x=4 で極小値 1 の3次関数。実数解は何個？$\displaystyle f(x)=0$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$
4. 04x=-1 で極大値 3、x=1 で極小値 1 の3次関数。解が3個になる □ は？$\displaystyle \square < k < 3$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. 3個になるのは山と谷の間
   2. $\displaystyle 1$$\displaystyle < k < 3$
   3. 入るのは極小 値。x = 1 ではない
5. 05x=-1 で極大値 9、x=1 で極小値 1 の3次関数。解が3個になる □ は？$\displaystyle \square < k < 9$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. 3個になるのは山と谷の間
   2. $\displaystyle 1$$\displaystyle < k < 9$
   3. 入るのは極小 値。x = 1 ではない
6. 06x=0 で極大値 -1、x=3 で極小値 -4 の3次関数。解が3個になる □ は？$\displaystyle \square < k < -1$答え閉じる

   答え$\displaystyle -4$

   解き方

   1. 3個になるのは山と谷の間
   2. $\displaystyle -4$$\displaystyle < k < -1$
   3. 入るのは極小 値。x = 3 ではない

よくある質問

Q1なぜ $f(x)=k$ の形に分けて考える？答え閉じる

A

$k$ を右辺に分けると、左辺のグラフは $k$ によらず1つに決まり、$k$ は直線の高さだけを表します。グラフを1回描けば、直線を上下に動かすだけで $k$ ごとの解の個数が読めます。

Q2$k$ が極大値と等しいときは何個？答え閉じる

A

異なる実数解は2個です。直線 $y=k$ が極大の点でグラフに接し(この $x$ は重解)、もう1か所で交わります。