置換積分の演習プリント

入っている問題

1. 次の不定積分を求めよ。 (1) $\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ (2) $\displaystyle\int x\sqrt{x^2 + 3}\,dx$ (3) $\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx$
2. 次の不定積分を求めよ。 (1) $\displaystyle\int \sin^2 x\cos x\,dx$ (2) $\displaystyle\int \frac{\log x}{x}\,dx$
3. 次の不定積分を求めよ。 (1) $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ (2) $\displaystyle\int \tan x\,dx$
4. $x - 1 = t$ とおいて、$\displaystyle\int x(x - 1)^4\,dx$ を求めよ。
5. $\sqrt{x + 1} = t$ とおいて、$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x + 1}}\,dx$ を求めよ。
6. $\displaystyle\int \dfrac{e^x}{e^x + 1}\,dx$ を求めよ。
7. $\cos^3 x = (1 - \sin^2 x)\cos x$ を使って、$\displaystyle\int \cos^3 x\,dx$ を求めよ。
8. $\displaystyle\int x(x^2 + 1)^2\,dx$ で $u = x^2 + 1$ とおき、$\displaystyle\int xu^2\,du = \dfrac{xu^3}{3} + C$ とした計算は誤りである。理由を述べ、正しく求めよ。

プリントの上にのせている公式

置換積分

$x = g(t)$ とおくと $\displaystyle\int f(x)\,dx = \int f(g(t))\,g'(t)\,dt$

よく使う形

$\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ は $u = g(x)$ とおくと $\displaystyle\int f(u)\,du$

分数の形

$\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log|g(x)| + C$

注意

不定積分は、もとの変数に戻す

使ってよい範囲

• 学校・塾・家庭で、人数に関係なく無料で使えます。申請は要りません。
• 印刷して配っても、PDF のまま Google Classroom などで配っても大丈夫です。
• お願いは 2 つです。右下の QR と「Derivon」の名前を消さないでください。プリントそのものを販売しないでください。

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