置換積分

$\int 2x(x^2+3)^3\,dx$ では、かっこの中を $t=x^2+3$ とおきます。微分すると $\frac{dt}{dx}=2x$ なので $dt=2x\,dx$ となり、$2x\,dx$ がそのまま $dt$ に置き換わります。

手順は、$t$ を決める、$dt$ を求めて $dx$ を消す、$t$ で積分する、最後に $x$ に戻す、の4つです。$\sqrt{1-x^2}$ を含む式では $x=\sin\theta$ とおく置換も使います。

例題

1. 01$t=x^{2}+1$ の置換で解けるのはどれ？$\displaystyle$答え閉じる

   答え$\displaystyle \int 2x(x^{2}+1)^{3}\,dx$
2. 02$dt = \square\,dx$ の □ は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+3)^{3}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+3 \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x$
3. 03$x$ に戻すと？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+3)^{3}\,dx = \frac{t^{4}}{4}+C, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+3 \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{(x^{2}+3)^{4}}{4}+C$
4. 04$t$ の積分に書き直すと？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+2)^{3}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+2,\; dt=2x\,dx \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \int t^{3}\,dt$
5. 05$dt = \square\,dx$ の □ は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+4)^{3}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+4 \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x$
6. 06$t$ の積分に書き直すと？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+3)^{4}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+3,\; dt=2x\,dx \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \int t^{4}\,dt$

よくある質問

Q1何を $t$ とおけばいい？答えを見る閉じる

A

微分した形が外に掛かっている部分を $t$ にします。$2x(x^2+3)^3$ なら、$x^2+3$ を微分した $2x$ が外にあるので $t=x^2+3$ とおけます。

Q2最後に $x$ に戻すのを忘れてもいい？答えを見る閉じる

A

不定積分では答えを $x$ の式で書くので、$t=x^2+3$ を代入して戻します。定積分なら、積分区間を $t$ の値に取り替えれば戻さずに計算できます。

この型を、アプリで毎日 5 問ずつ。

公開 2026-10-13 · 最終更新 2026-10-13