指数法則・指数関数

指数法則の基本は 2 本です。掛け算は指数の足し算、累乗の累乗は指数の掛け算。

指数は整数以外にも広がります。$a^0=1$($a\neq 0$)、$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$、$a^{1/n}$ は $n$ 乗根。たとえば $8^{1/3}=2$、$2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ です。

微積では $e^x$ の微分・積分や、$a^x=e^{x\log a}$ の書き換えでこの法則をそのまま使います。

例題

1. 01計算すると？$\displaystyle 8^{\frac{1}{3}}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. $\displaystyle 8^{\frac{1}{3}}$$\displaystyle = (2^{3})^{\frac{1}{3}}$$\displaystyle = 2$
2. 02この値は？$\displaystyle a^{0} \quad (a \neq 0)$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. $\displaystyle a^{3} \div a^{3}$$\displaystyle = 1$
   2. 同じ式を2通りに書く
   3. $\displaystyle a^{3} \div a^{3}$$\displaystyle = a^{3-3} = a^{0}$
3. 03分数で表すと？$\displaystyle 2^{-3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{8}$

   解き方

   1. $\displaystyle 2^{-3}$$\displaystyle = \frac{1}{2^{3}}$$\displaystyle = \frac{1}{8}$
4. 04□ に入る数は？$\displaystyle a^{5} \div a^{2} = a^{\square}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. $\displaystyle a^{5} \div a^{2}$$\displaystyle = a^{5-2}$$\displaystyle = a^{3}$
5. 05計算すると？$\displaystyle (2^{3})^{3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2^{9}$

   解き方

   1. $\displaystyle (2^{3})^{3}$$\displaystyle = 2^{3 \times 3}$$\displaystyle = 2^{9}$
6. 06分数で表すと？$\displaystyle 5^{-2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{25}$

   解き方

   1. $\displaystyle 5^{-2}$$\displaystyle = \frac{1}{5^{2}}$$\displaystyle = \frac{1}{25}$

よくある質問