対数の定義

対数 $\log_a b$ は「$a$ を何乗すると $b$ になるか」という数です。定義は $\log_a b=c \iff a^c=b$ で、$\log_2 8=3$ は $2^3=8$ の書き換えです。

指数法則をそのまま対数に翻訳すると、次の 3 つの性質になります。

微積で出てくる $\log x$ は底が $e$ の自然対数です。$(\log x)'=\dfrac{1}{x}$ は、この定義と $e^x$ の微分から導かれます。

例題

1. 01$\log_{5}125 = 3$ である。計算すると？$\displaystyle \log_{5}625 - \log_{5}125$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. $\displaystyle 5^{4}$$\displaystyle = 625$
   2. 指数を引くと割り算になる
   3. $\displaystyle \frac{625}{125}$$\displaystyle = 5^{1}$
   4. 対数の形で書くと
   5. $\displaystyle \log_{5}\frac{625}{125}$$\displaystyle = 1$
2. 02指数の形で書くと？$\displaystyle \log_{2}8 = 3$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2^{3} = 8$

   解き方

   1. $\displaystyle \log_{2}8$$\displaystyle = 3$
   2. 指数の形で書くと
   3. $\displaystyle 2^{3}$$\displaystyle = 8$
3. 03□ に入る数は？$\displaystyle \log_{a}1 = \square$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle a^{0}$$\displaystyle = 1$
   2. 対数の形で書くと
   3. $\displaystyle \log_{a}1$$\displaystyle = 0$
4. 04この値は？$\displaystyle \log_{3}27$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. $\displaystyle 3^{3}$$\displaystyle = 27$
   2. 対数の形で書くと
   3. $\displaystyle \log_{3}27$$\displaystyle = 3$
5. 05対数の形で書くと？$\displaystyle 5^{3} = 125$答え閉じる

   答え$\displaystyle \log_{5}125 = 3$

   解き方

   1. $\displaystyle 5^{3}$$\displaystyle = 125$
   2. 対数の形で書くと
   3. $\displaystyle \log_{5}125$$\displaystyle = 3$
6. 06$\log_{2}4 = 2$ である。計算すると？$\displaystyle \log_{2}2 + \log_{2}4$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. $\displaystyle 2^{1}$$\displaystyle = 2$
   2. 指数を足すと掛け算になる
   3. $\displaystyle 2 \times 4$$\displaystyle = 2^{3}$
   4. 対数の形で書くと
   5. $\displaystyle \log_{2}(2 \times 4)$$\displaystyle = 3$

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よくある質問