対数の定義 log_a b=c ⇔ a^c=b と基本性質、練習問題

高校の微積とこのアプリでは、底を書かない \log x は自然対数(底 e)です。常用対数(底 10)は \log_{10} x と底を書いて区別します。

\begin{gathered} \log_a b=c \iff a^c=b, \\[4pt] \log_a xy=\log_a x+\log_a y \end{gathered}

対数 $\log_a b$ は「 $a$ を何乗すると $b$ になるか」という数です。定義は $\log_a b=c \iff a^c=b$ で、 $\log_2 8=3$ は $2^3=8$ の書き換えです。

指数法則をそのまま対数に翻訳すると、次の 3 つの性質になります。

\begin{gathered} \log_a xy=\log_a x+\log_a y, \\[4pt] \log_a \frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \\[4pt] \log_a x^k=k\log_a x \end{gathered}

微積で出てくる $\log x$ は底が $e$ の自然対数です。 $(\log x)'=\frac{1}{x}$ は、この定義と $e^x$ の微分から導かれます。

log₂ x は 2ˣ の逆関数。2 つのグラフは直線 y=x について対称ドラッグして動かせます

例題

01 $\log_{5}125 = 3$ である。計算すると？ $\displaystyle \log_{5}625 - \log_{5}125$ 答え閉じる

答え $\displaystyle 1$
02 $\log_{2}4 = 2$ である。計算すると？ $\displaystyle \log_{2}2 + \log_{2}4$ 答え閉じる

答え $\displaystyle 3$
03指数の形で書くと？ $\displaystyle \log_{2}8 = 3$ 答え閉じる

答え $\displaystyle 2^{3} = 8$
04 $\log_{2}4 = 2$ である。計算すると？ $\displaystyle \log_{2}8 - \log_{2}4$ 答え閉じる

答え $\displaystyle 1$
05 $\log_{2}8 = 3$ である。計算すると？ $\displaystyle \log_{2}4 + \log_{2}8$ 答え閉じる

答え $\displaystyle 5$
06 $\log_{2}2 = 1$ である。計算すると？ $\displaystyle \log_{2}4 + \log_{2}2$ 答え閉じる

答え $\displaystyle 3$