∫1/x dx = log|x| + C

$x^n$ の積分公式は $n=-1$ のとき分母が $0$ になって使えません。その穴を埋めるのが $\log|x|$ です。

絶対値を付けるのは、$x$ が負でも定義できるようにするためです。

例題

1. 01この式が使えない n は？$\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle n=-1$

   解き方

   1. 分母の $n+1$ が 0 になる $n$ を探す
   2. $\displaystyle n+1 = 0$$\displaystyle \Rightarrow n = -1$
   3. 他の $n$ では分母が 0 にならないので、そのまま使える
2. 02これは？$\displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2\log_e|x|+C$

   解き方

   1. 定数倍は外に出るだけ。$\dfrac{1}{x}$ の積分は $\log_e|x|$
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 2\log_e|x|$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = \frac{2}{x}$
   3. 微分すると元に戻った。$2$ は $\log$ の前に残り、中には入らない
3. 03値は？$\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{4}{x}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. $\dfrac{1}{x}$ の積分は $\log_e|x|$。上の端から下の端を引く
   2. $\displaystyle 4(\log_e e-\log_e 1)$$\displaystyle = 4(1-0)$$\displaystyle = 4$
   3. $\log_e e = 1$、$\log_e 1 = 0$。上端を $e$ にしたので整数になる
4. 04□ は？$\displaystyle \int_{1}^{3} \frac{3}{x}\,dx = \square\log_e 3$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. 定数倍は外に出る。$\dfrac{1}{x}$ の積分は $\log_e|x|$ なので、上の端から下の端を引く
   2. $\displaystyle 3(\log_e 3-\log_e 1)$$\displaystyle = 3\log_e 3$
   3. $\log_e 1 = 0$ なので $\log_e 3$ だけが残る。だから $\square$ は $3$
5. 05積分せよ$\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \log_e|x| + C$
6. 06値を求めよ$\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{3}{4}$

よくある質問