指数関数の積分

$e^x$ は微分しても積分しても $e^x$ のままです。底が $a$ の場合は、微分で $\log a$ が掛かった分を、積分では割って戻します。

$e^{2x}$ のように中身が 1 次式のときは、中身の係数で割ることを忘れないでください。

例題

1. 01値は？$\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle e-1$

   解き方

   1. $e^{x}$ の積分は $e^{x}$。上の端から下の端を引く
   2. $\displaystyle e^{1}-e^{0}$$\displaystyle = e-1$
   3. $e^{0}=1$ を引くので、$e$ そのものにはならない
2. 02□ は？$\displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\square}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \log_e a$

   解き方

   1. $a^{x}$ を微分すると $\log_e a$ が掛かる。積分はその逆なので、割っておく
   2. $\displaystyle \frac{a^{x}\log_e a}{\log_e a}$$\displaystyle = a^{x}$
   3. 約分されて戻るので、$\square$ は $\log_e a$
3. 03これは？$\displaystyle \int e^{x}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle e^{x}+C$

   解き方

   1. 微分しても変わらないのが $e^{x}$。だから積分しても変わらない
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = e^{x}$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = e^{x}$
   3. べき則は使えない。$e^{x}$ は $x$ が指数にいるので $x^{n}$ の形ではない
4. 04積分せよ$\displaystyle \int e^x \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle e^x + C$
5. 05これは？$\displaystyle \int 3^{x}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{3^{x}}{\log_e 3}+C$

   解き方

   1. $3^{x}$ を微分すると $\log_e 3$ が掛かって出てくる
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 3^{x}$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 3^{x}\log_e 3$
   3. 積分はその逆。掛かるぶんをあらかじめ割っておく
   4. $\displaystyle \frac{3^{x}\log_e 3}{\log_e 3}$$\displaystyle = 3^{x}$
   5. 約分されて戻った。掛けるのが微分、割るのが積分
6. 06これは？$\displaystyle \int 5^{x}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{5^{x}}{\log_e 5}+C$

   解き方

   1. $5^{x}$ を微分すると $\log_e 5$ が掛かって出てくる
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 5^{x}$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 5^{x}\log_e 5$
   3. 積分はその逆。掛かるぶんをあらかじめ割っておく
   4. $\displaystyle \frac{5^{x}\log_e 5}{\log_e 5}$$\displaystyle = 5^{x}$
   5. 約分されて戻った。掛けるのが微分、割るのが積分

よくある質問