三角関数の積分

微分の公式を逆に読みます。$\cos$ を微分すると $-\sin$ なので、$\sin$ を積分すると $-\cos$。$\sin$ を微分すると $\cos$ なので、$\cos$ を積分すると $\sin$。

マイナスが付くのは $\sin$ の積分のほうです。答えを微分して元に戻るか確かめる習慣をつけてください。

例題

1. 01これは？$\displaystyle \int 2\cos x\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2\sin x+C$

   解き方

   1. $\cos x$ の積分は $\sin x$。定数倍は外に出るだけ
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 2\sin x$$\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 2\cos x$
   3. 微分すると元に戻った。マイナスは付かない
2. 02□ は？$\displaystyle \int \sin x\,dx = \square\cos x + C$答え閉じる

   答え$\displaystyle -1$

   解き方

   1. $\cos x$ を微分すると $-\sin x$。欲しいのは $+\sin x$ なので頭にマイナスを付ける
   2. $\displaystyle -(-\sin x)$$\displaystyle = \sin x$
   3. マイナスが2つで打ち消し合う。だから $\square$ は $-1$
3. 03値は？$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. $\sin x$ の積分は $-\cos x$。上の端から下の端を引く
   2. $\displaystyle -\cos\frac{\pi}{2}-(-\cos 0)$$\displaystyle = 0+1$$\displaystyle = 1$
4. 04積分するとマイナスが付くのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle \sin x$B$\displaystyle \cos x$C$\displaystyle \frac{1}{x}$D$\displaystyle e^{x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \sin x$

   解き方

   1. $-\cos x$ を微分すると $\sin x$ に戻る。だから $\sin x$ の積分にはマイナスが付く
   2. $\displaystyle -(-\sin x)$$\displaystyle = \sin x$
   3. 他は付かない。$\cos x$ は $\sin x$、$e^{x}$ は $e^{x}$、$x^{2}$ は $\dfrac{x^{3}}{3}$
5. 05値を求めよ$\displaystyle \int_0^{\pi/3} \cos x \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
6. 06積分せよ$\displaystyle \int \sin x \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\cos x + C$

よくある質問