数II 積分

∫x^n dx の公式

xnx^n の不定積分は、指数を 1 増やして新しい指数で割った xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1}+C です(n≠−1n\neq -1)。

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\begin{gathered} \int x^n\,dx \\[4pt] =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1) \end{gathered}

微分では指数を下ろして 1 減らしました。積分はその逆で、指数を 1 増やし、増えたあとの指数で割ります。

∫x3 dx=x44+C\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C

検算は簡単で、答えを微分して元に戻れば正解です。

例題

  1. 01積分せよ∫x2 dx\displaystyle \int x^{2} \, dx答え閉じる
    答え13x3+C\displaystyle \frac{1}{3}x^{3} + C
  2. 02積分せよ∫x5 dx\displaystyle \int x^{5} \, dx答え閉じる
    答え16x6+C\displaystyle \frac{1}{6}x^{6} + C
  3. 03積分せよ∫x dx\displaystyle \int x \, dx答え閉じる
    答え12x2+C\displaystyle \frac{1}{2}x^{2} + C
  4. 04積分せよ∫x3 dx\displaystyle \int x^{3} \, dx答え閉じる
    答え14x4+C\displaystyle \frac{1}{4}x^{4} + C
  5. 05積分せよ∫x4 dx\displaystyle \int x^{4} \, dx答え閉じる
    答え15x5+C\displaystyle \frac{1}{5}x^{5} + C

よくある質問

Q1n=−1n=-1 のときは？答えを見る閉じる
A
公式の分母が 0 になるので使えません。∫1x dx=log⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,dx=\log|x|+C という別の公式になります。

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前提
原始関数（微分の逆演算）
この単元
∫x^n dx の公式
次
定数倍・和差の積分（多項式）面積と原始関数三角関数の積分指数関数の積分∫1/x dx = log|x| + C部分積分

公開 2026-09-03 · 最終更新 2026-09-05