定数倍・和差の積分（多項式）

微分と同じく、定数倍は外に出せて、足し算・引き算は項ごとに積分できます。多項式なら各項に $\int x^n\,dx$ の公式を当てるだけです。

$C$ は最後に 1 つ付ければ十分です。

例題

1. 01積分すると？$\displaystyle \int (3x^2-6x+1)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle x^3-3x^2+x+C$

   解き方

   1. $\displaystyle \int (3x^2-6x+1)\,dx$$\displaystyle = \frac{3}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2 + 1x + C$
   2. 係数を整理すると
   3. $\displaystyle \frac{3}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2 + 1x$$\displaystyle = x^3-3x^2+x$
2. 02積分せよ$\displaystyle \int x^{2} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{3}x^{3} + C$
3. 03積分すると？$\displaystyle \int (6x^2+6x)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x^3+3x^2+C$

   解き方

   1. $\displaystyle \int (6x^2+6x)\,dx$$\displaystyle = \frac{6}{3}x^3 + \frac{6}{2}x^2 + C$
   2. 係数を整理すると
   3. $\displaystyle \frac{6}{3}x^3 + \frac{6}{2}x^2$$\displaystyle = 2x^3+3x^2$
4. 04積分すると？$\displaystyle \int (9x^2-4x+4)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3x^3-2x^2+4x+C$

   解き方

   1. $\displaystyle \int (9x^2-4x+4)\,dx$$\displaystyle = \frac{9}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + 4x + C$
   2. 係数を整理すると
   3. $\displaystyle \frac{9}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + 4x$$\displaystyle = 3x^3-2x^2+4x$
5. 05積分すると？$\displaystyle \int (6x^2-4x+4)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x^3-2x^2+4x+C$

   解き方

   1. $\displaystyle \int (6x^2-4x+4)\,dx$$\displaystyle = \frac{6}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + 4x + C$
   2. 係数を整理すると
   3. $\displaystyle \frac{6}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + 4x$$\displaystyle = 2x^3-2x^2+4x$
6. 06積分すると？$\displaystyle \int (9x^2-2x+5)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3x^3-x^2+5x+C$

   解き方

   1. $\displaystyle \int (9x^2-2x+5)\,dx$$\displaystyle = \frac{9}{3}x^3 - \frac{2}{2}x^2 + 5x + C$
   2. 係数を整理すると
   3. $\displaystyle \frac{9}{3}x^3 - \frac{2}{2}x^2 + 5x$$\displaystyle = 3x^3-x^2+5x$

よくある質問