2 曲線の間の面積

2 つのグラフの間の面積は、上にある関数から下にある関数を引いたものを積分します。

どちらが上かは区間ごとに確かめ、交点の $x$ 座標を積分の端にします。上下が入れ替わる場合は区間を分けます。

例題

1. 010<x<3 でこの2曲線に囲まれた部分の面積を表す式は？$\displaystyle y=3x,\quad y=x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle \int_{0}^{3} (3x-x^2)\,dx$

   解き方

   1. $\displaystyle 3x - x^2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 0$$\displaystyle 3x - x^2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 3$
   2. 交点が積分の端になる
   3. $\displaystyle \int_{0}^{3} (3x - x^2)\,dx$$\displaystyle = \frac{9}{2}$
2. 02$y=9$ と $y=x^2$ に囲まれた部分の面積を表す式。□ は？$\displaystyle \int_{-3}^{3} (\square)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 9-x^2$

   解き方

   1. $\displaystyle 9 - x^2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = \pm 3$
   2. 交点が積分の端になる
   3. $\displaystyle \int_{-3}^{3} (9-x^2)\,dx$$\displaystyle = 36$
3. 03この2曲線に囲まれた部分の面積を表す式は？$\displaystyle y=4,\quad y=x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle \int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx$

   解き方

   1. $\displaystyle 4 - x^2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = \pm 2$
   2. 交点が積分の端になる
   3. $\displaystyle \int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx$$\displaystyle = \frac{32}{3}$
4. 04交点は x=0, 4 で、その間では y=4x が上と分かった。囲まれた面積は？$\displaystyle y=4x,\quad y=x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{32}{3}$
5. 05$y=1$ と $y=x^2$ に囲まれた部分の面積を表す式。□ は？$\displaystyle \int_{-1}^{1} (\square)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1-x^2$

   解き方

   1. $\displaystyle 1 - x^2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = \pm 1$
   2. 交点が積分の端になる
   3. $\displaystyle \int_{-1}^{1} (1-x^2)\,dx$$\displaystyle = \frac{4}{3}$
6. 06この2曲線に囲まれた部分の面積を表す式は？$\displaystyle y=16,\quad y=x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle \int_{-4}^{4} (16-x^2)\,dx$

   解き方

   1. $\displaystyle 16 - x^2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = \pm 4$
   2. 交点が積分の端になる
   3. $\displaystyle \int_{-4}^{4} (16-x^2)\,dx$$\displaystyle = \frac{256}{3}$

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よくある質問