面積と原始関数

曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の間の、0 から $x$ までの面積を $S(x)$ とします。$x$ を少し増やすと、面積は高さ $f(x)$ の細い短冊ぶんだけ増えます。だから $S(x)$ の変化率は $f(x)$ です。

$y=6$ なら $S(x)=6x$、$y=6x$ なら $S(x)=3x^2$ で、どちらも微分すると元に戻ります。面積を求める問題が「微分して $f$ になる関数(原始関数)を探す問題」に変わる。これが微積分学の基本定理の中身です。

例題

1. 01この直線と x軸で囲まれた、0 から x までの部分の面積 S(x) は？$\displaystyle y=6$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x$
2. 020 から x までの面積が S(x)。S(4) は？$\displaystyle y=6x, \quad S(x)=3x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 48$
3. 03$0$ から $x$ までの面積が $S(x)$。□ は？$\displaystyle y=f(x), \quad S'(x)=\square$答え閉じる

   答え$\displaystyle f(x)$
4. 040 から x までの面積が S(x)。微分すると？$\displaystyle S(x)=6x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6$
5. 050 から x までの面積が S(x)。S(3) は？$\displaystyle y=10x, \quad S(x)=5x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 45$
6. 06この直線と x軸で囲まれた、0 から x までの部分の面積 S(x) は？$\displaystyle y=5$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5x$

よくある質問