符号つき面積

定積分は「符号つき」の面積です。グラフが $x$ 軸より下にある区間では、値が負になります。

面積そのものを求めるときは、グラフが $x$ 軸と交わる点で区間を分け、負になる部分は符号を反転して足します。

例題

1. 01この定積分の符号は？$\displaystyle \int_{0}^{1} (x^{2}-1)\,dx$答え閉じる

   答え負

   解き方

   1. $\displaystyle 0 \le x \le 1$$\displaystyle \Rightarrow x^2 \le 1$
   2. 移項すると
   3. $\displaystyle x^2 - 1$$\displaystyle \le 0$$\displaystyle \int_{0}^{1} (x^{2}-1)\,dx$$\displaystyle = -\frac{2}{3}$
2. 02この区間で $y=x-2$ と $x$ 軸が囲む面積は 0 ではない。なぜ？$\displaystyle \int_{0}^{4} (x-2)\,dx = 0$答え閉じる

   答え下にある部分が負で数えられ、上の部分と打ち消すから

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{0}^{2} (x-2)\,dx$$\displaystyle = -2$$\displaystyle \int_{2}^{4} (x-2)\,dx$$\displaystyle = 2$
   2. 面積にするので符号を直して足す
   3. $\displaystyle 2 + 2$$\displaystyle = 4$
3. 03この定積分の値は？$\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{3}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{-2}^{0} x^{3}\,dx$$\displaystyle = -4$$\displaystyle \int_{0}^{2} x^{3}\,dx$$\displaystyle = 4$
   2. 足すと打ち消す
   3. $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{3}\,dx$$\displaystyle = 0$
4. 04この面積を出すには？$\displaystyle \int_{0}^{4} (x-2)\,dx$答え閉じる

   答え下にある区間だけ符号を変えて足す
5. 05この定積分の符号は？$\displaystyle \int_{0}^{2} (x^{2}-4)\,dx$答え閉じる

   答え負

   解き方

   1. $\displaystyle 0 \le x \le 2$$\displaystyle \Rightarrow x^2 \le 4$
   2. 移項すると
   3. $\displaystyle x^2 - 4$$\displaystyle \le 0$$\displaystyle \int_{0}^{2} (x^{2}-4)\,dx$$\displaystyle = -\frac{16}{3}$
6. 06この定積分の符号は？$\displaystyle \int_{0}^{3} (x^{2}-9)\,dx$答え閉じる

   答え負

   解き方

   1. $\displaystyle 0 \le x \le 3$$\displaystyle \Rightarrow x^2 \le 9$
   2. 移項すると
   3. $\displaystyle x^2 - 9$$\displaystyle \le 0$$\displaystyle \int_{0}^{3} (x^{2}-9)\,dx$$\displaystyle = -18$

よくある質問