差分商と 0 で割れない壁

差分商は $x$ から $x+h$ までの平均変化率です。

$h=0$ を直接入れると $\dfrac{0}{0}$ になって計算できません。これが「0 で割れない壁」です。そこで $h\neq 0$ のまま分子を展開し、$h$ で約分して壁を消してから、$h$ を 0 に近づけます。

$f(x)=x^2$ なら分子は $2xh+h^2$、約分して $2x+h$、$h\to 0$ で $2x$。この手順がそのまま微分係数の定義になります。

例題

1. 01$f(x)=x^2$。展開して整理すると？$\displaystyle f(3+h)-f(3)$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6h+h^2$

   解き方

   1. $\displaystyle (3+h)^2 - 3^2$$\displaystyle = 9 + 6h + h^2 - 9$$\displaystyle = 6h+h^2$
2. 02簡約すると？（h≠0）$\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x+h$
3. 03$x=3$ での差分商。$h$ で割ると？$\displaystyle \frac{6h+h^2}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6+h$
4. 04$f(x)=x^2$ のとき、この式を $h$ で約分すると？$\displaystyle \frac{f(5+h)-f(5)}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 10+h$
5. 05$f(x)=3$ のとき、簡約すると？（h≠0）$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$
6. 06約分できた。$h$ を $0$ に近づけると近づく値は？$\displaystyle \frac{f(3+h)-f(3)}{h} = 6+h$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6$

よくある質問