差分商と 0 で割れない壁

差分商は $x$ から $x+h$ までの平均変化率です。

$h=0$ を直接入れると $\frac{0}{0}$ になって計算できません。これが「0 で割れない壁」です。そこで $h\neq 0$ のまま分子を展開し、$h$ で約分して壁を消してから、$h$ を 0 に近づけます。

$f(x)=x^2$ なら分子は $2xh+h^2$、約分して $2x+h$、$h\to 0$ で $2x$。この手順がそのまま微分係数の定義になります。

例題

1. 01簡約すると？（h≠0）$\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x+h$
2. 02$x=3$ での差分商。$h$ で割ると？$\displaystyle \frac{6h+h^2}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6+h$
3. 03$f(x)=x^2$ のとき、この式を $h$ で約分すると？$\displaystyle \frac{f(5+h)-f(5)}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 10+h$
4. 04$f(x)=3$ のとき、簡約すると？（h≠0）$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$
5. 05$f(x)=x^2$。展開して整理すると？$\displaystyle f(3+h)-f(3)$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6h+h^2$
6. 06$f(x)=x^2$ のとき、この式を $h$ で約分すると？$\displaystyle \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6+h$

よくある質問

Q1なぜ先に h=0 を代入してはいけない？答えを見る閉じる

A

分母が $0$ になり、$\frac{0}{0}$ は値が定まらないからです。$h\neq 0$ の間に約分して $h$ を分母から消せば、$h\to 0$ の行き先が読めるようになります。

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公開 2026-09-04 · 最終更新 2026-09-05