導関数 f'(x)

微分係数は 1 点での傾きでした。$a$ を $x$ のまま残して極限をとると、どの $x$ でも傾きを返す関数になります。それが導関数 $f'(x)$ です。

以後の公式はすべて、この定義を毎回やらなくて済むようにまとめたものです。

例題

1. 01導関数 f'(x) は？$\displaystyle f(x)=x^2+2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x$

   解き方

   1. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = x^2 +2$
   2. 微分すると
   3. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 2x + 0 = 2x$
2. 02f'(6) は？$\displaystyle f'(x)=2x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 12$

   解き方

   1. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = x^2$
   2. 微分すると
   3. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 2x$
   4. x = 6 を入れる
   5. $\displaystyle f'(6)$$\displaystyle = 2 \cdot (6) = 12$
3. 03□ は？$\displaystyle \frac{2xh+h^2}{h} = 2x+\square$答え閉じる

   答え$\displaystyle h$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{2xh+h^2}{h}$$\displaystyle = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x+h$
   2. h を 0 に近づける
   3. $\displaystyle (h \to 0)$$\displaystyle \Rightarrow f'(x) = 2x$
4. 04導関数 f'(x) は？$\displaystyle f(x)=x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x$

   解き方

   1. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = x^2$
   2. 微分すると
   3. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 2 x^{2-1} = 2x$
5. 05導関数 f'(x) は？$\displaystyle f(x)=x^2+5$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x$

   解き方

   1. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = x^2 +5$
   2. 微分すると
   3. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 2x + 0 = 2x$
6. 06導関数 f'(x) は？$\displaystyle f(x)=x^2+6$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x$

   解き方

   1. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = x^2 +6$
   2. 微分すると
   3. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 2x + 0 = 2x$

よくある質問