数II 微分

定義から x^n を微分する

xnx^n の導関数 nxn−1nx^{n-1} は、(x+h)n(x+h)^n の展開から定義どおりに導けます。

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}

(x+h)n(x+h)^n を展開すると、hh の 1 次の項の係数が nxn−1nx^{n-1} になります。差分商をとって hh で割り、h→0h\to 0 とすると、この項だけが残ります。

(x+h)n−xnh=nxn−1+(h を含む項)\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+(\text{$h$ を含む項})

べき則は暗記ではなく、この計算の結果です。

例題

  1. 01微分せよddxx4\displaystyle \frac{d}{dx} x^{4}答え閉じる
    答え4x3\displaystyle 4x^{3}
  2. 02微分せよddxx3\displaystyle \frac{d}{dx} x^{3}答え閉じる
    答え3x2\displaystyle 3x^{2}
  3. 03微分せよddxx5\displaystyle \frac{d}{dx} x^{5}答え閉じる
    答え5x4\displaystyle 5x^{4}
  4. 04微分せよddxx\displaystyle \frac{d}{dx} x答え閉じる
    答え1\displaystyle 1
  5. 05微分せよddxx2\displaystyle \frac{d}{dx} x^{2}答え閉じる
    答え2x\displaystyle 2x

よくある質問

Q1(x+h)n(x+h)^n の展開は全部書く必要がある？答えを見る閉じる
A
h の 1 次の項まで分かれば十分です。h2h^2 以上の項は h で割っても h が残り、h→0h\to 0 で消えます。

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前提
導関数 f'(x)
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公開 2026-09-03 · 最終更新 2026-09-05