f' の符号と増減

導関数は各点での傾きです。$f'(x)>0$ の区間では関数は増加し、$f'(x)<0$ の区間では減少します。

$f'(x)=0$ になる $x$ で符号が変わるかどうかを調べるのが増減表です。

例題

1. 01f'(x) が正になる x の範囲は？$\displaystyle f'(x)=3x-3$答え閉じる

   答え$\displaystyle x>1$

   解き方

   1. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 3x-3$$\displaystyle = 3(x-1)$
   2. 0 になる所を出す
   3. $\displaystyle 3(x-1) = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 1$
2. 02関数 f(x) の導関数がこの式のとき、f(x) が減少する x の範囲は？$\displaystyle f'(x)=6x^2-24$答え閉じる

   答え$\displaystyle -2<x<2$

   解き方

   1. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 6x^2-24$$\displaystyle = 6(x-2)(x+2)$
   2. 0 になる所を出す
   3. $\displaystyle 6(x-2)(x+2) = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 2$
3. 03関数 f(x) の導関数がこの式のとき、f(x) が増加する x の範囲は？$\displaystyle f'(x)=4x-16$答え閉じる

   答え$\displaystyle x>4$

   解き方

   1. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 4x-16$$\displaystyle = 4(x-4)$
   2. 0 になる所を出す
   3. $\displaystyle 4(x-4) = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 4$
4. 04f'(x) が正になる範囲の境目 □ は？$\displaystyle f'(x)=2x-10 \;\Rightarrow\; x>\square$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5$

   解き方

   1. $\displaystyle 2x-10$$\displaystyle = 2(x-5)$
   2. 0 になる所を出す
   3. $\displaystyle 2(x-5) = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 5$
5. 05関数 f(x) の導関数がこの式のとき、f(x) が減少する x の範囲は？$\displaystyle f'(x)=3x^2-48$答え閉じる

   答え$\displaystyle -4<x<4$

   解き方

   1. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 3x^2-48$$\displaystyle = 3(x-4)(x+4)$
   2. 0 になる所を出す
   3. $\displaystyle 3(x-4)(x+4) = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 4$
6. 06f'(x) が正になる x の範囲は？$\displaystyle f'(x)=4x-4$答え閉じる

   答え$\displaystyle x>1$

   解き方

   1. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 4x-4$$\displaystyle = 4(x-1)$
   2. 0 になる所を出す
   3. $\displaystyle 4(x-1) = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 1$

よくある質問