넓이와 부정적분 (미적분의 기본정리의 직관)

$y=f(x)$와 $x$축 사이의 0부터 $x$까지의 넓이를 $S(x)$라 해요. $x$를 조금 늘리면 높이가 $f(x)$인 가는 직사각형이 더해지므로 $S(x)$의 변화율은 $f(x)$예요.

$y=6$이면 $S(x)=6x$, $y=6x$이면 $S(x)=3x^2$이고, 어느 쪽이든 미분하면 원래 함수가 돼요. 그래서 넓이를 구하는 문제는 미분하면 $f$가 되는 함수, 곧 부정적분을 구하는 문제로 바뀌어요. 이것이 미적분의 기본정리의 내용이에요.

예제

1. 01이 직선과 x축으로 둘러싸인, 0부터 x까지의 부분의 넓이 S(x)는?$\displaystyle y=6$답닫기

   답$\displaystyle 6x$
2. 020부터 x까지의 넓이가 S(x)예요. S(4)의 값은?$\displaystyle y=6x, \quad S(x)=3x^2$답닫기

   답$\displaystyle 48$
3. 030부터 x까지의 넓이가 S(x)예요. S(3)의 값은?$\displaystyle y=10x, \quad S(x)=5x^2$답닫기

   답$\displaystyle 45$
4. 04$0$부터 $x$까지의 넓이를 $S(x)$라 할 때, □에 들어갈 것은?$\displaystyle y=f(x), \quad S'(x)=\square$답닫기

   답$\displaystyle f(x)$
5. 05이 직선과 x축으로 둘러싸인, 0부터 x까지의 부분의 넓이 S(x)는?$\displaystyle y=5$답닫기

   답$\displaystyle 5x$
6. 060부터 x까지의 넓이를 S(x)라 할 때, 미분하면?$\displaystyle S(x)=6x$답닫기

   답$\displaystyle 6$

자주 묻는 질문

Q1S(0)=0인 이유는 무엇인가요?답 보기닫기

A

폭이 $0$인 구간의 넓이는 $0$이에요. 부정적분 $F(x)$로 나타내면 $S(x)=F(x)-F(0)$이고, 상수 $F(0)$을 빼서 $S(0)=0$이 되도록 해요.

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공개 2026-10-04 · 최종 수정 2026-10-04