tan x の微分

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ を商の微分で計算すると、分子が $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ になります。

結果は公式として覚えて構いませんが、出どころを 1 度は手で確かめておくと忘れません。

例題

1. 01微分すると？$\displaystyle \tan x$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}$

   解き方

   1. $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ の商の微分。分子は $\cos^{2}x+\sin^{2}x$ にまとまる
   2. $\displaystyle \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}$$\displaystyle = \frac{1}{\cos^{2}x}$
   3. 分母は元の $\cos^{2}x$ がそのまま残る。$\sin^{2}x$ ではない
2. 02この式の値は？$\displaystyle \cos^{2}x+\sin^{2}x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. x が何であっても成り立つ等式
   2. $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x$$\displaystyle = 1$
   3. たとえば $x=0$ なら $\sin 0=0$、$\cos 0=1$ で $0+1=1$
3. 03x=0 での値は？$\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^{2}x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. $\cos 0 = 1$ を入れる
   2. $\displaystyle \frac{1}{1^{2}}$$\displaystyle = 1$
   3. 傾き 1。$\tan x$ のグラフは原点で 45 度に立ち上がる
4. 04□ は？$\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\square}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \cos x$

   解き方

   1. $\tan x$ の定義そのもの
   2. $\displaystyle \tan x$$\displaystyle = \frac{\sin x}{\cos x}$
   3. たとえば $x=\dfrac{\pi}{4}$ なら $\sin x$ と $\cos x$ が等しいので割り算は 1。$\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ と合う
5. 05微分せよ$\displaystyle \frac{d}{dx} \tan x$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$
6. 06かっこを外すと？$\displaystyle \cos x\cos x-\sin x(-\sin x)$答え閉じる

   答え$\displaystyle \cos^{2}x+\sin^{2}x$

よくある質問