合成関数の意味 f(g(x))

合成関数 $f(g(x))$ は、$x$ にまず $g$ を、その結果に $f$ を適用した関数です。順番を変えると別の関数になります。

微分では $y=(2x+4)^4$ を「外側 $y=u^4$、内側 $u=2x+4$」に分けて見る練習が大事です。合成関数の微分(連鎖律)は、この外側と内側の微分の積になります。

例題

1. 01g(f(x)) を式で表すと？$\displaystyle f(x)=x+3, \quad g(x)=x^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle (x+3)^{2}$

   解き方

   1. f を g に代入する
   2. $\displaystyle g(x)$$\displaystyle = x^{2}$$\displaystyle g(f(x))$$\displaystyle = (x+3)^{2}$
   3. 順番を入れ替えると別の式になる
   4. $\displaystyle f(g(x))$$\displaystyle = x^{2}+3$
2. 02g(f(x)) − f(g(x)) は？$\displaystyle g(f(x))=4x+2,\; f(g(x))=4x+8$答え閉じる

   答え$\displaystyle -6$

   解き方

   1. $\displaystyle (4x+2) - (4x+8)$$\displaystyle = -6$
   2. x の項は消えて、定数の差だけが残る
   3. 0 にならないのは、順番で別物になるから
3. 03$y=u^{4}$ と見たとき、内側の $u$ は？$\displaystyle y=(2x+4)^{4}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x+4$

   解き方

   1. 先に計算する括弧の中が、まるごと u
   2. $\displaystyle u$$\displaystyle = 2x+4$$\displaystyle y$$\displaystyle = u^{4}$
4. 04f(g(x)) を式で表すと？$\displaystyle f(x)=x+5, \quad g(x)=x^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x^{2}+5$

   解き方

   1. g を f に代入する
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = x+5$$\displaystyle f(g(x))$$\displaystyle = x^{2}+5$
   3. 順番を入れ替えると別の式になる
   4. $\displaystyle g(f(x))$$\displaystyle = (x+5)^{2}$
5. 05f(g(3)) は？$\displaystyle f(x)=x+2, \quad g(x)=x^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 11$

   解き方

   1. 先に g。g(3) を出す
   2. $\displaystyle g(3)$$\displaystyle = 3^{2} = 9$
   3. その答えを f に代入する
   4. $\displaystyle f(9)$$\displaystyle = 9+2 = 11$
   5. 順番を入れ替えると別の値になる
   6. $\displaystyle g(f(3))$$\displaystyle = (5)^{2} = 25$
6. 06g(f(x)) を式で表すと？$\displaystyle f(x)=x+4, \quad g(x)=x^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle (x+4)^{2}$

   解き方

   1. f を g に代入する
   2. $\displaystyle g(x)$$\displaystyle = x^{2}$$\displaystyle g(f(x))$$\displaystyle = (x+4)^{2}$
   3. 順番を入れ替えると別の式になる
   4. $\displaystyle f(g(x))$$\displaystyle = x^{2}+4$

よくある質問