数III 微分

逆関数の微分

x=g(y)x=g(y) の形なら、dydx\frac{dy}{dx} は dxdy\frac{dx}{dy} の逆数で求まります。

dydx=1 dxdy \begin{gathered} \frac{dy}{dx} \\[4pt] =\frac{1}{\,\dfrac{dx}{dy}\,} \end{gathered}

xx が yy の式で書かれているとき(x=y3x=y^3 など)、まず yy で微分して dxdy=3y2\frac{dx}{dy}=3y^2 を求め、その逆数をとります。

dydx=13y2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3y^2}

これは y=x1/3y=x^{1/3} を直接微分した 13x−2/3\frac{1}{3}x^{-2/3} を yy で書き直したものと一致します。x=eyx=e^y なら dxdy=ey\frac{dx}{dy}=e^y なので dydx=1ey=1x\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} となり、(log⁡x)′=1x(\log x)'=\frac{1}{x} が出てきます。

答えを yy で表したままでよいか xx に直すかは、問題の指示に従います。

xyy = x³y = ∛x
逆関数のグラフは y=x について対称。傾きも逆数の関係になるドラッグして動かせます

例題

  1. 01dy/dx は？x=y3\displaystyle x=y^3答え閉じる
    答え13y2\displaystyle \frac{1}{3y^2}
  2. 02dy/dx は？x=2y\displaystyle x=2y答え閉じる
    答え12\displaystyle \frac{1}{2}
  3. 03dy/dx は？x=y2\displaystyle x=y^2答え閉じる
    答え12y\displaystyle \frac{1}{2y}
  4. 04dy/dx は？x=y5\displaystyle x=y^5答え閉じる
    答え15y4\displaystyle \frac{1}{5y^4}
  5. 05dy/dx は？x=ey\displaystyle x=e^y答え閉じる
    答え1ey\displaystyle \frac{1}{e^y}
  6. 06dy/dx は？x=sin⁡y\displaystyle x=\sin y答え閉じる
    答え1cos⁡y\displaystyle \frac{1}{\cos y}

よくある質問

Q1なぜ逆数でよい？答えを見る閉じる
A
Δy/Δx\Delta y/\Delta x と Δx/Δy\Delta x/\Delta y が互いに逆数だからです。dx/dy≠0dx/dy\neq 0 のところでは極限をとっても逆数の関係が保たれ、dydx=1dx/dy\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy} になります。

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前提
合成関数の微分準備中逆関数の意味
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公開 2026-09-04 · 最終更新 2026-09-05