逆関数の微分

$x$ が $y$ の式で書かれているとき($x=y^3$ など)、まず $y$ で微分して $\dfrac{dx}{dy}=3y^2$ を求め、その逆数をとります。

これは $y=x^{1/3}$ を直接微分した $\dfrac{1}{3}x^{-2/3}$ を $y$ で書き直したものと一致します。$x=e^y$ なら $\dfrac{dx}{dy}=e^y$ なので $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{e^y}=\dfrac{1}{x}$ となり、$(\log x)'=\dfrac{1}{x}$ が出てきます。

答えを $y$ で表したままでよいか $x$ に直すかは、問題の指示に従います。

例題

1. 01dy/dx は？$\displaystyle x=y^3$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{3y^2}$

   解き方

   1. $x$ を $y$ で微分する
   2. $\displaystyle \frac{dx}{dy}$$\displaystyle = 3y^{2}$
   3. ひっくり返す
   4. $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{1}{3y^{2}}$
2. 02dy/dx は？$\displaystyle x=2y$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{2}$

   解き方

   1. $x$ を $y$ で微分する
   2. $\displaystyle \frac{dx}{dy}$$\displaystyle = 2$
   3. ひっくり返す
   4. $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$
3. 03dy/dx は？$\displaystyle x=y^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{2y}$

   解き方

   1. $x$ を $y$ で微分する
   2. $\displaystyle \frac{dx}{dy}$$\displaystyle = 2y$
   3. ひっくり返す
   4. $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{1}{2y}$
4. 04dy/dx は？$\displaystyle x=y^5$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{5y^4}$
5. 05dy/dx は？$\displaystyle x=e^y$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{e^y}$
6. 06dy/dx は？$\displaystyle x=\sin y$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{\cos y}$

よくある質問