평균변화율의 식 (0으로 나눌 수 없는 이유)

이 식은 $x$에서 $x+h$까지의 평균변화율이에요.

$h=0$을 바로 대입하면 $\frac{0}{0}$이 되어 값이 정해지지 않아요. 이것이 '0으로 나눌 수 없는 벽'이에요. 그래서 $h\neq 0$인 채로 분자를 전개하고 $h$를 약분해서 벽을 없앤 다음, $h$를 0에 가까이 가게 해요.

$f(x)=x^2$이면 분자는 $2xh+h^2$이고, 약분하면 $2x+h$, $h\to 0$일 때 $2x$가 돼요. 이 과정이 바로 도함수의 정의예요.

예제

1. 01간단히 하면? (h≠0)$\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$답닫기

   답$\displaystyle 2x+h$
2. 02$x=3$에서의 평균변화율의 식. $h$로 나누면?$\displaystyle \frac{6h+h^2}{h}$답닫기

   답$\displaystyle 6+h$
3. 03$f(x)=x^2$일 때, 이 식을 $h$로 약분하면?$\displaystyle \frac{f(5+h)-f(5)}{h}$답닫기

   답$\displaystyle 10+h$
4. 04$f(x)=3$일 때, 간단히 하면? (h≠0)$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$답닫기

   답$\displaystyle 0$
5. 05$f(x)=x^2$. 전개하여 정리하면?$\displaystyle f(3+h)-f(3)$답닫기

   답$\displaystyle 6h+h^2$
6. 06$f(x)=x^2$일 때, 이 식을 $h$로 약분하면?$\displaystyle \frac{f(3+h)-f(3)}{h}$답닫기

   답$\displaystyle 6+h$

자주 묻는 질문

Q1h=0을 바로 대입하면 안 되는 이유는 무엇인가요?답 보기닫기

A

분모가 $0$이 되고, $\frac{0}{0}$은 값이 정해지지 않기 때문이에요. $h\neq 0$인 동안 $h$를 약분해서 분모에서 없애면 $h\to 0$일 때의 값을 구할 수 있어요.

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공개 2026-10-04 · 최종 수정 2026-10-04