根号の計算と分母の有理化

分母が $\sqrt{a}$ だけなら、分母と分子に $\sqrt{a}$ を掛けます。$\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$ です。

分母が $\sqrt{a}+b$ や $\sqrt{a}-b$ なら、真ん中の符号を逆にした式を掛けます。和と差の積で根号が消えます。

分母は $(\sqrt{6})^2-1^2=5$ と、2 乗の差ですぐ出せます。

例題

1. 01分母を有理化すると？$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{2(\sqrt{6}+1)}{5}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-1}$$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)}$$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{6}+1)}{6-1}$$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{6}+1)}{5}$
2. 02有理化した式の分母は？$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10}-1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 9$

   解き方

   1. $\displaystyle (\sqrt{10}-1)(\sqrt{10}+1)$$\displaystyle = 10 - 1$$\displaystyle = 9$
3. 03分子を有理化すると？$\displaystyle \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+9}+3}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{\sqrt{x+9}-3}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3}$$\displaystyle = \frac{(x+9) - 9}{x(\sqrt{x+9}+3)}$$\displaystyle = \frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{x+9}+3}$
4. 04分母を有理化するには分子分母に何を掛ける？$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \sqrt{3}-1$
5. 05分母を有理化すると？$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{7}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$$\displaystyle = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}}$$\displaystyle = \frac{2\sqrt{7}}{7}$
6. 06有理化した式の分母は？$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. $\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$$\displaystyle = 3 - 1$$\displaystyle = 2$

よくある質問

Q1$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ には $\sqrt{3}+1$ を掛けてもいい？答え閉じる

A

それでは分母が $(\sqrt{3}+1)^2=4+2\sqrt{3}$ となり、根号が残ります。符号を逆にした $\sqrt{3}-1$ を掛けると、分母が $3-1=2$ になります。

Q2微分や極限で有理化を使うのはどんなとき？答え閉じる

A

$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ のように $x\to 0$ で $\frac{0}{0}$ になる式では、分子と分母に $\sqrt{x+4}+2$ を掛けて分子を有理化すると $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ と約分でき、極限が求められます。