式の展開 (a+b)² と (a+b)³

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ の真ん中の項 $2ab$ を忘れないようにします。$(x+5)^2=x^2+10x+25$ です。

3 乗の係数は $1,\ 3,\ 3,\ 1$ です。$b$ が負の数のときは、符号が $+,\ -,\ +,\ -$ と交互になります。

$f(x)=x^2$ のとき $f(x+h)=(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$ です。ここから $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$ となり、$h\to 0$ で $f'(x)=2x$ が出てきます。

例題

1. 01展開すると？$\displaystyle (x+3)^3$答え閉じる

   答え$\displaystyle x^3+9x^2+27x+27$

   解き方

   1. $\displaystyle (x+3)^3$$\displaystyle = (x+3)^2(x+3)$$\displaystyle = (x^2+6x+9)(x+3)$
   2. 1 つずつ掛けて、同じ次数をまとめる
   3. $\displaystyle = x^3+3x^2+6x^2+18x+9x+27$$\displaystyle = x^3+9x^2+27x+27$
2. 02展開するとこの式になるのは？$\displaystyle x^2+4x+4$答え閉じる

   答え$\displaystyle (x+2)^2$

   解き方

   1. $\displaystyle x^2 + 2 \cdot 2 x + 2^2$$\displaystyle = (x+2)^2$
3. 03$f(x)=x^2$ のとき □ は？$\displaystyle f(x+h) = x^2 + \square h + h^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x$
4. 04展開したとき □ に入る数は？$\displaystyle (x+5)^2 = x^2 + \square x+25$答え閉じる

   答え$\displaystyle 10$
5. 05展開すると？$\displaystyle (x-2)^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle x^2-4x+4$

   解き方

   1. $\displaystyle (x-2)^2$$\displaystyle = (x-2)(x-2)$$\displaystyle = x^2-2x-2x+4$$\displaystyle = x^2-4x+4$
6. 06展開すると？$\displaystyle (x-1)^3$答え閉じる

   答え$\displaystyle x^3-3x^2+3x-1$

   解き方

   1. $\displaystyle (x-1)^3$$\displaystyle = (x-1)^2(x-1)$$\displaystyle = (x^2-2x+1)(x-1)$
   2. 1 つずつ掛けて、同じ次数をまとめる
   3. $\displaystyle = x^3-x^2-2x^2+2x+x-1$$\displaystyle = x^3-3x^2+3x-1$

よくある質問