三角関数の相互関係と2倍角

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ から、$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$ です。$\sin\theta=\frac{3}{5}$ で $\theta$ が鋭角なら、$\cos\theta>0$ なので $\cos\theta=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ です。

2 倍角の公式は加法定理で $\beta=\alpha$ としたものです。

$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$ を $\sin^2$ について解くと、半角の公式 $\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$ になります。積分で $\sin^2 x$ の次数を下げるときに使います。

例題

1. 01$\cos$ だけで表すと？$\displaystyle 1 - \sin^2\theta$答え閉じる

   答え$\displaystyle \cos^2\theta$

   解き方

   1. $\displaystyle \sin^2\theta + \cos^2\theta$$\displaystyle = 1$$\displaystyle \cos^2\theta$$\displaystyle = 1 - \sin^2\theta$
2. 02$\theta$ は鋭角。$\cos\theta$ は？$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\; \sin\theta = \frac{8}{17}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{15}{17}$

   解き方

   1. $\displaystyle \cos^2\theta$$\displaystyle = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2$$\displaystyle 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2$$\displaystyle = \frac{225}{289}$
   2. 鋭角なので正の方をとる
   3. $\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle = \frac{15}{17}$
3. 03これを使う。$\sin\theta = \frac{1}{4}$ のとき $\cos 2\theta$ は？$\displaystyle \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{7}{8}$

   解き方

   1. $\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^2$$\displaystyle = \frac{1}{16}$
   2. これを 1 - 2sin²θ に入れる
   3. $\displaystyle 1 - 2 \cdot \frac{1}{16}$$\displaystyle = \frac{7}{8}$
4. 04$\sin\theta$ と $\cos\theta$ で表すと？$\displaystyle \sin 2\theta$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta$

   解き方

   1. $\displaystyle \sin 2\theta$$\displaystyle = 2\sin\theta\cos\theta$
   2. 2 を外に出せない。θ = π/6 で確かめる
   3. $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$$\displaystyle \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$$\displaystyle \Rightarrow 2\sin\theta = 1$
5. 05これは何と等しい？$\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta$答え閉じる

   答え$\displaystyle \sin 2\theta$

   解き方

   1. $\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle \sin \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   2. 同じ値になった。2θ = π/3 なので これは sin 2θ
   3. $\displaystyle \sin 2\theta$$\displaystyle = 2\sin\theta\cos\theta$
   4. 一方 cos 2θ は別の値
   5. $\displaystyle \cos \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$
6. 06□ に入るのは？$\displaystyle \sin^2\theta + \cos^2\theta = \square$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$$\displaystyle \cos \frac{\pi}{6}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   2. 2乗して足す
   3. $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$\displaystyle = 1$

よくある質問