共通因数でくくって約分

$3h^3+6h^2+5h$ はどの項にも $h$ があるので、$h$ でくくって $h(3h^2+6h+5)$ にできます。かっこの中は各項を $h$ で割ったものです。

分子のすべての項に $h$ があれば、分母の $h$ と約分できます。$\dfrac{h^2+2h+1}{h}$ のように $h$ を含まない項が 1 つでもあると、分母の $h$ は消えません。

数の共通因数も残さずくくり出します。$10x^2+25x$ は $10$ と $25$ の最大公約数 $5$ と $x$ をまとめて $5x(2x+5)$ です。

例題

1. 01h でくくったとき □ に入る式は？$\displaystyle 3h^3+6h^2+5h = h(\square)$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3h^2+6h+5$

   解き方

   1. $\displaystyle 3h^3+6h^2+5h$$\displaystyle = h \cdot 3h^2 + h \cdot 6h + h \cdot 5$
   2. h で割ると
   3. $\displaystyle \square$$\displaystyle = 3h^2+6h+5$
2. 02約分して分母の h が消えるのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle \frac{h^2+9}{h}$B$\displaystyle \frac{h^3+2}{h^2}$C$\displaystyle \frac{h^2+2h}{h^2}$D$\displaystyle \frac{h^2+2h}{h}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{h^2+2h}{h}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{h^2+2h}{h}$$\displaystyle = \frac{h(h+2)}{h}$$\displaystyle = h+2$
3. 03共通因数を全てくくり出すと？$\displaystyle 10x^2+25x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5x(2x+5)$

   解き方

   1. $\displaystyle 10x^2+25x$$\displaystyle = 5x \cdot 2x + 5x \cdot 5$$\displaystyle = 5x(2x+5)$
4. 04h でくくったとき □ に入る式は？$\displaystyle 3h^3+3h^2+2h = h(\square)$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3h^2+3h+2$

   解き方

   1. $\displaystyle 3h^3+3h^2+2h$$\displaystyle = h \cdot 3h^2 + h \cdot 3h + h \cdot 2$
   2. h で割ると
   3. $\displaystyle \square$$\displaystyle = 3h^2+3h+2$
5. 05h でくくったとき □ に入る式は？$\displaystyle 3h^3+5h^2+5h = h(\square)$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3h^2+5h+5$

   解き方

   1. $\displaystyle 3h^3+5h^2+5h$$\displaystyle = h \cdot 3h^2 + h \cdot 5h + h \cdot 5$
   2. h で割ると
   3. $\displaystyle \square$$\displaystyle = 3h^2+5h+5$
6. 06h でくくったとき □ に入る式は？$\displaystyle 2h^3+5h^2+4h = h(\square)$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2h^2+5h+4$

   解き方

   1. $\displaystyle 2h^3+5h^2+4h$$\displaystyle = h \cdot 2h^2 + h \cdot 5h + h \cdot 4$
   2. h で割ると
   3. $\displaystyle \square$$\displaystyle = 2h^2+5h+4$

よくある質問

Q1$x(10x+25)$ ではだめ？答え閉じる

A

式としては正しいですが、かっこの中にまだ共通因数 $5$ が残っています。「全てくくり出す」なら $5x(2x+5)$ まで進めます。

Q2約分で $h\neq 0$ が必要なのはなぜ？答え閉じる

A

$h$ で割る操作は $h=0$ のときにはできないからです。微分の定義でも $h\neq 0$ のまま約分し、そのあとで $h$ を $0$ に近づけます。