근호의 계산과 분모의 유리화

분모가 $\sqrt{a}$뿐이면 분모와 분자에 $\sqrt{a}$를 곱해요. $\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$이에요.

분모가 $\sqrt{a}+b$나 $\sqrt{a}-b$이면 가운데 부호를 반대로 한 식을 곱해요. 합차 공식으로 근호가 없어져요.

분모는 $(\sqrt{6})^2-1^2=5$처럼 제곱의 차로 바로 구할 수 있어요.

예제

1. 01분모를 유리화하면?$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-1}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{2(\sqrt{6}+1)}{5}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-1}$$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)}$$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{6}+1)}{6-1}$$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{6}+1)}{5}$
2. 02유리화한 식의 분모는?$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{10}-1}$답닫기

   답$\displaystyle 9$

   풀이

   1. $\displaystyle (\sqrt{10}-1)(\sqrt{10}+1)$$\displaystyle = 10 - 1$$\displaystyle = 9$
3. 03분자를 유리화하면?$\displaystyle \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+9}+3}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{\sqrt{x+9}-3}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3}$$\displaystyle = \frac{(x+9) - 9}{x(\sqrt{x+9}+3)}$$\displaystyle = \frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{x+9}+3}$
4. 04분모를 유리화하려면 분자와 분모에 무엇을 곱하나요?$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}+1}$답닫기

   답$\displaystyle \sqrt{3}-1$
5. 05분모를 유리화하면?$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{2\sqrt{7}}{7}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}$$\displaystyle = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}}$$\displaystyle = \frac{2\sqrt{7}}{7}$
6. 06유리화한 식의 분모는?$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. $\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$$\displaystyle = 3 - 1$$\displaystyle = 2$

자주 묻는 질문

Q1$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$에 $\sqrt{3}+1$을 곱해도 되나요?답닫기

A

그러면 분모가 $(\sqrt{3}+1)^2=4+2\sqrt{3}$이 되어 근호가 남아요. 부호를 반대로 한 $\sqrt{3}-1$을 곱하면 분모가 $3-1=2$가 돼요.

Q2극한이나 미분에서 유리화는 언제 쓰나요?답닫기

A

$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$처럼 $x\to 0$일 때 $\frac{0}{0}$ 꼴이 되는 식에서, 분자와 분모에 $\sqrt{x+4}+2$를 곱해 분자를 유리화하면 $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$로 약분되어 극한값을 구할 수 있어요.