삼각함수 사이의 관계와 배각 공식

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$에서 $1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$예요. $\sin\theta=\frac{3}{5}$이고 $\theta$가 예각이면 $\cos\theta>0$이므로 $\cos\theta=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$예요.

배각 공식은 덧셈정리에서 $\beta=\alpha$로 놓은 거예요.

$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$를 $\sin^2$에 대해 풀면 반각 공식 $\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$가 돼요. 적분에서 $\sin^2 x$의 차수를 낮출 때 써요.

예제

1. 01$\cos$만으로 나타내면?$\displaystyle 1 - \sin^2\theta$답닫기

   답$\displaystyle \cos^2\theta$

   풀이

   1. $\displaystyle \sin^2\theta + \cos^2\theta$$\displaystyle = 1$$\displaystyle \cos^2\theta$$\displaystyle = 1 - \sin^2\theta$
2. 02$\theta$는 예각이에요. $\cos\theta$의 값은?$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\; \sin\theta = \frac{8}{17}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{15}{17}$

   풀이

   1. $\displaystyle \cos^2\theta$$\displaystyle = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2$$\displaystyle 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2$$\displaystyle = \frac{225}{289}$
   2. θ는 예각이므로 양의 제곱근을 택해요
   3. $\displaystyle \cos\theta$$\displaystyle = \frac{15}{17}$
3. 03이 식을 써요. $\sin\theta = \frac{1}{4}$일 때 $\cos 2\theta$의 값은?$\displaystyle \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$답닫기

   답$\displaystyle \frac{7}{8}$

   풀이

   1. $\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^2$$\displaystyle = \frac{1}{16}$
   2. 이것을 1 - 2sin²θ에 대입해요
   3. $\displaystyle 1 - 2 \cdot \frac{1}{16}$$\displaystyle = \frac{7}{8}$
4. 04$\sin\theta$와 $\cos\theta$로 나타내면?$\displaystyle \sin 2\theta$답닫기

   답$\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta$

   풀이

   1. $\displaystyle \sin 2\theta$$\displaystyle = 2\sin\theta\cos\theta$
   2. 2는 앞으로 나오지 않아요. θ = π/6에서 확인해요
   3. $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$$\displaystyle \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$$\displaystyle \Rightarrow 2\sin\theta = 1$
5. 05이것과 같은 것은?$\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta$답닫기

   답$\displaystyle \sin 2\theta$

   풀이

   1. $\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle \sin \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   2. 값이 같고, 2θ = π/3이므로 이것은 sin 2θ예요
   3. $\displaystyle \sin 2\theta$$\displaystyle = 2\sin\theta\cos\theta$
   4. 한편 cos 2θ는 다른 값이에요
   5. $\displaystyle \cos \frac{\pi}{3}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$
6. 06□에 들어갈 것은?$\displaystyle \sin^2\theta + \cos^2\theta = \square$답닫기

   답$\displaystyle 1$

   풀이

   1. $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$$\displaystyle \cos \frac{\pi}{6}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   2. 제곱해서 더해요
   3. $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$\displaystyle = 1$

자주 묻는 질문