식의 전개 (a+b)²과 (a+b)³

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$에서 가운데 항 $2ab$를 빠뜨리지 않도록 해요. $(x+5)^2=x^2+10x+25$예요.

세제곱의 계수는 $1,\ 3,\ 3,\ 1$이에요. $b$가 음수일 때는 부호가 $+,\ -,\ +,\ -$로 번갈아 나와요.

$f(x)=x^2$일 때 $f(x+h)=(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$이에요. 여기서 $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$가 되고, $h\to 0$일 때 $f'(x)=2x$가 나와요.

예제

1. 01전개하면?$\displaystyle (x+3)^3$답닫기

   답$\displaystyle x^3+9x^2+27x+27$

   풀이

   1. $\displaystyle (x+3)^3$$\displaystyle = (x+3)^2(x+3)$$\displaystyle = (x^2+6x+9)(x+3)$
   2. 하나씩 곱한 다음, 차수가 같은 항끼리 모아요
   3. $\displaystyle = x^3+3x^2+6x^2+18x+9x+27$$\displaystyle = x^3+9x^2+27x+27$
2. 02전개하면 이 식이 되는 것은?$\displaystyle x^2+4x+4$답닫기

   답$\displaystyle (x+2)^2$

   풀이

   1. $\displaystyle x^2 + 2 \cdot 2 x + 2^2$$\displaystyle = (x+2)^2$
3. 03$f(x)=x^2$일 때 □에 들어갈 것은?$\displaystyle f(x+h) = x^2 + \square h + h^2$답닫기

   답$\displaystyle 2x$
4. 04전개했을 때 □에 들어갈 수는?$\displaystyle (x+5)^2 = x^2 + \square x+25$답닫기

   답$\displaystyle 10$
5. 05전개하면?$\displaystyle (x-2)^2$답닫기

   답$\displaystyle x^2-4x+4$

   풀이

   1. $\displaystyle (x-2)^2$$\displaystyle = (x-2)(x-2)$$\displaystyle = x^2-2x-2x+4$$\displaystyle = x^2-4x+4$
6. 06전개하면?$\displaystyle (x-1)^3$답닫기

   답$\displaystyle x^3-3x^2+3x-1$

   풀이

   1. $\displaystyle (x-1)^3$$\displaystyle = (x-1)^2(x-1)$$\displaystyle = (x^2-2x+1)(x-1)$
   2. 하나씩 곱한 다음, 차수가 같은 항끼리 모아요
   3. $\displaystyle = x^3-x^2-2x^2+2x+x-1$$\displaystyle = x^3-3x^2+3x-1$

자주 묻는 질문