数III 積分

三角関数による置換 (x=a sinθ 型)

a2−x2\sqrt{a^2-x^2} (a>0)(a>0) を含む積分は x=asin⁡θx=a\sin\theta と置くと根号が外れ、θ\theta の積分になります。

x=asin⁡θ (a>0, −π2≤θ≤π2)⇒ a2−x2=acos⁡θ,  dx=acos⁡θ dθ\begin{gathered} x=a\sin\theta\ \left(a>0,\ -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right) \\[4pt] \Rightarrow\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta,\ \ dx=a\cos\theta\,d\theta \end{gathered}

x=asin⁡θx=a\sin\theta (−π2≤θ≤π2)\left(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right) と置くと a2−x2=a2cos⁡2θa^2-x^2=a^2\cos^2\theta で、この範囲では cos⁡θ≥0\cos\theta\ge 0 なので a2−x2=acos⁡θ\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta です。dx=acos⁡θ dθdx=a\cos\theta\,d\theta も一緒に書き換えます。

∫011−x2 dx=∫0π2cos⁡2θ dθ=π4\begin{gathered} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx \\[4pt] =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta \\[4pt] =\frac{\pi}{4} \end{gathered}

xx が 0→10\to 1 のとき θ\theta は 0→π20\to\frac{\pi}{2} です。分母に a2+x2a^2+x^2 があるときは x=atan⁡θx=a\tan\theta と置くと a2+x2=a2cos⁡2θa^2+x^2=\frac{a^2}{\cos^2\theta}、dx=acos⁡2θ dθdx=\frac{a}{\cos^2\theta}\,d\theta となり、cos⁡2θ\cos^2\theta が約分できます。

例題

  1. 01根号が外れる置き換えは？∫16−x2 dx\displaystyle \int \sqrt{16-x^{2}}\,dx答え閉じる
    答えx=4sin⁡θ\displaystyle x=4\sin\theta

    解き方

    1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 を使いたい。x=4sin⁡θx=4\sin\theta と置くと中身は
    2. 16−(4sin⁡θ)2\displaystyle 16-(4\sin\theta)^{2}=16cos⁡2θ\displaystyle = 16\cos^{2}\theta
    3. 2乗の形になるので根号が外れる。tan⁡\tan や θ\theta のままでは 2乗の形にならない
  2. 02分母が 1cos⁡2θ\frac{1}{\cos^{2}\theta} の定数倍になる置き換えは？∫dx4+x2\displaystyle \int \frac{dx}{4+x^{2}}答え閉じる
    答えx=2tan⁡θ\displaystyle x=2\tan\theta

    解き方

    1. 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta} を使う。x=2tan⁡θx=2\tan\theta と置くと分母は
    2. 4+(2tan⁡θ)2\displaystyle 4+(2\tan\theta)^{2}=4cos⁡2θ\displaystyle = \frac{4}{\cos^{2}\theta}
    3. sin⁡\sin で置くと 1−sin⁡2θ1-\sin^{2}\theta の形になり、分母はきれいにならない
  3. 03□ に入るのは？x=3sin⁡θ  ⇒  dx=□ dθ\displaystyle x=3\sin\theta \;\Rightarrow\; dx = \square\,d\theta答え閉じる
    答え3cos⁡θ\displaystyle 3\cos\theta

    解き方

    1. xx を θ\theta で微分する
    2. x\displaystyle x=3sin⁡θ\displaystyle = 3\sin\thetadxdθ\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=3cos⁡θ\displaystyle = 3\cos\theta
    3. sin⁡\sin の微分は cos⁡\cos。マイナスが付くのは cos⁡\cos を微分したとき
  4. 04xx が 0→10 \to 1 のとき θ\theta は？x=sin⁡θ  (−π2≤θ≤π2)\displaystyle x=\sin\theta \; \left(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right)答え閉じる
    答え0→π2\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{2}
  5. 05代入すると？x=2sin⁡θ  (−π2≤θ≤π2),4−x2\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle x=2\sin\theta \; \left(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right), \\[6pt] \displaystyle \sqrt{4-x^{2}} \end{gathered}答え閉じる
    答え2cos⁡θ\displaystyle 2\cos\theta
  6. 06□ に入るのは？x=5sin⁡θ  ⇒  dx=□ dθ\displaystyle x=5\sin\theta \;\Rightarrow\; dx = \square\,d\theta答え閉じる
    答え5cos⁡θ\displaystyle 5\cos\theta

    解き方

    1. xx を θ\theta で微分する
    2. x\displaystyle x=5sin⁡θ\displaystyle = 5\sin\thetadxdθ\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=5cos⁡θ\displaystyle = 5\cos\theta
    3. sin⁡\sin の微分は cos⁡\cos。マイナスが付くのは cos⁡\cos を微分したとき

よくある質問

Q1なぜ θ\theta の範囲を −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2} にする？答え閉じる
A
この範囲なら cos⁡θ≥0\cos\theta\ge 0 なので a2cos⁡2θ=acos⁡θ\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a\cos\theta と符号を気にせず外せます。また xx と θ\theta が 1 対 1 に対応するので、積分区間も 1 通りに決まります。
Q2sin⁡\sin と tan⁡\tan はどう使い分ける？答え閉じる
A
a2−x2\sqrt{a^2-x^2} なら x=asin⁡θx=a\sin\theta、a2+x2a^2+x^2 なら x=atan⁡θx=a\tan\theta です。1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^2\theta=\cos^2\theta と 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta} のどちらを使うかで決まります。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14