미적분: 여러 가지 적분법

삼각함수를 이용한 치환 (x=a sinθ 꼴)

a2−x2\sqrt{a^2-x^2} (a>0)(a>0)을 포함한 적분은 x=asin⁡θx=a\sin\theta로 놓으면 근호가 없어지고 θ\theta에 대한 적분이 돼요.

x=asin⁡θ (a>0, −π2≤θ≤π2)⇒ a2−x2=acos⁡θ,  dx=acos⁡θ dθ\begin{gathered} x=a\sin\theta\ \left(a>0,\ -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right) \\[4pt] \Rightarrow\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta,\ \ dx=a\cos\theta\,d\theta \end{gathered}

x=asin⁡θx=a\sin\theta (−π2≤θ≤π2)\left(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right)로 놓으면 a2−x2=a2cos⁡2θa^2-x^2=a^2\cos^2\theta이고, 이 범위에서는 cos⁡θ≥0\cos\theta\ge 0이므로 a2−x2=acos⁡θ\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta예요. dx=acos⁡θ dθdx=a\cos\theta\,d\theta도 함께 바꿔요.

∫011−x2 dx=∫0π2cos⁡2θ dθ=π4\begin{gathered} \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx \\[4pt] =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta \\[4pt] =\frac{\pi}{4} \end{gathered}

xx가 0→10\to 1일 때 θ\theta는 0→π20\to\frac{\pi}{2}예요. 분모에 a2+x2a^2+x^2이 있으면 x=atan⁡θx=a\tan\theta로 놓아요. 그러면 a2+x2=a2cos⁡2θa^2+x^2=\frac{a^2}{\cos^2\theta}, dx=acos⁡2θ dθdx=\frac{a}{\cos^2\theta}\,d\theta가 되어 cos⁡2θ\cos^2\theta가 약분돼요.

예제

  1. 01근호가 없어지는 치환은?∫16−x2 dx\displaystyle \int \sqrt{16-x^{2}}\,dx답닫기
    답x=4sin⁡θ\displaystyle x=4\sin\theta

    풀이

    1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1을 쓰고 싶어요. x=4sin⁡θx=4\sin\theta로 두면 근호 안은
    2. 16−(4sin⁡θ)2\displaystyle 16-(4\sin\theta)^{2}=16cos⁡2θ\displaystyle = 16\cos^{2}\theta
    3. 제곱 꼴이 되므로 근호가 벗겨져요. tan⁡\tan이나 θ\theta 그대로로는 제곱 꼴이 되지 않아요
  2. 02분모가 1cos⁡2θ\frac{1}{\cos^{2}\theta}의 상수배가 되는 치환은?∫dx4+x2\displaystyle \int \frac{dx}{4+x^{2}}답닫기
    답x=2tan⁡θ\displaystyle x=2\tan\theta

    풀이

    1. 여기서는 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}을 써요. x=2tan⁡θx=2\tan\theta로 두면 분모는
    2. 4+(2tan⁡θ)2\displaystyle 4+(2\tan\theta)^{2}=4cos⁡2θ\displaystyle = \frac{4}{\cos^{2}\theta}
    3. sin⁡\sin으로 두면 1−sin⁡2θ1-\sin^{2}\theta 꼴이 되어 분모가 정리되지 않아요
  3. 03□에 들어갈 것은?x=3sin⁡θ  ⇒  dx=□ dθ\displaystyle x=3\sin\theta \;\Rightarrow\; dx = \square\,d\theta답닫기
    답3cos⁡θ\displaystyle 3\cos\theta

    풀이

    1. xx를 θ\theta에 대해 미분해요
    2. x\displaystyle x=3sin⁡θ\displaystyle = 3\sin\thetadxdθ\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=3cos⁡θ\displaystyle = 3\cos\theta
    3. sin⁡\sin을 미분하면 cos⁡\cos이에요. 마이너스 부호는 cos⁡\cos을 미분할 때만 붙어요
  4. 04xx가 0→10 \to 1일 때 θ\theta는?x=sin⁡θ  (−π2≤θ≤π2)\displaystyle x=\sin\theta \; \left(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right)답닫기
    답0→π2\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{2}
  5. 05대입하면?x=2sin⁡θ  (−π2≤θ≤π2),4−x2\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle x=2\sin\theta \; \left(-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right), \\[6pt] \displaystyle \sqrt{4-x^{2}} \end{gathered}답닫기
    답2cos⁡θ\displaystyle 2\cos\theta
  6. 06□에 들어갈 것은?x=5sin⁡θ  ⇒  dx=□ dθ\displaystyle x=5\sin\theta \;\Rightarrow\; dx = \square\,d\theta답닫기
    답5cos⁡θ\displaystyle 5\cos\theta

    풀이

    1. xx를 θ\theta에 대해 미분해요
    2. x\displaystyle x=5sin⁡θ\displaystyle = 5\sin\thetadxdθ\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=5cos⁡θ\displaystyle = 5\cos\theta
    3. sin⁡\sin을 미분하면 cos⁡\cos이에요. 마이너스 부호는 cos⁡\cos을 미분할 때만 붙어요

자주 묻는 질문

Q1왜 θ\theta의 범위를 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}로 하나요?답닫기
A
이 범위에서는 cos⁡θ≥0\cos\theta\ge 0이므로 a2cos⁡2θ=acos⁡θ\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a\cos\theta로 부호 걱정 없이 근호를 없앨 수 있어요. 또 xx와 θ\theta가 일대일로 대응하므로 적분 구간도 하나로 정해져요.
Q2sin⁡\sin과 tan⁡\tan은 어떻게 구별해서 쓰나요?답닫기
A
a2−x2\sqrt{a^2-x^2}이면 x=asin⁡θx=a\sin\theta, a2+x2a^2+x^2이면 x=atan⁡θx=a\tan\theta예요. 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^2\theta=\cos^2\theta와 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta} 중 어느 것을 쓰는지로 정해져요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14