区間を縮める(h→0 の実験)

$y=x^2$ で、$x=a$ から幅 $h$ だけ進んだ区間の平均変化率は、$h\neq 0$ なら $2a+h$ です。

$h$ を $0.1$, $0.01$, $0.001$ と小さくすると、$a=3$ なら $6.1$, $6.01$, $6.001$ となって $6=2a$ に近づきます。$h$ を負の側から近づけても $5.9$, $5.99$, $5.999$ と同じ $6$ に近づきます。

この近づく先が $x=a$ での接線の傾きで、のちに微分係数 $f'(a)$ として定義します。

例題

1. 01$y=x^2$ の $x=a$ での平均変化率。幅 $h$ を $0$ に近づけると近づく値は？$\displaystyle 2a+h$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2a$
2. 02$y=x^2$ の $x=5$ での平均変化率。幅 $h$ を $0$ に近づけると近づく値は？$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 9.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 9.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 9.999 \end{matrix}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 10$
3. 03$x=1$ から $x=1+h$ までの平均変化率が、接線の傾きに最も近いのは？$\displaystyle y=x^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle h=0.001$
4. 04$y=x^2$ の $x=3$ での平均変化率。幅 $h$ を $0$ に近づけると近づく値は？$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 5.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 5.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 5.999 \end{matrix}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6$
5. 05$y=x^2$ の $x=4$ での平均変化率。幅 $h$ を $0$ に近づけると近づく値は？$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 7.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 7.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 7.999 \end{matrix}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 8$
6. 06$y=x^2$ の $x=1$ での平均変化率。幅 $h$ を $0$ に近づけると近づく値は？$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 1.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 1.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 1.999 \end{matrix}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

よくある質問

Q1最初から $h=0$ を代入すればいいのでは？答え閉じる

A

元の式 $\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}$ に $h=0$ を入れると $\dfrac{0}{0}$ になり、値が決まりません。$h\neq 0$ のまま約分して $2a+h$ にしてから、$h$ を $0$ に近づけます。

Q2$h$ が負のときも同じ値に近づく？答え閉じる

A

$y=x^2$ では近づきます。$2a+h$ は $h$ が正でも負でも $h\to 0$ で $2a$ に近づくので、右から縮めても左から縮めても行き先は同じです。