数II 微分

3次関数のグラフの概形

3次関数のグラフは、増減表で極大と極小の位置と値を求め、x3x^3 の係数の符号で両端の向きを決めると描けます。

f′ の符号が +→− ⇒ 極大,−→+ ⇒ 極小\begin{gathered} f'\text{ の符号が }+\to-\ \Rightarrow\ \text{極大}, \\[4pt] -\to+\ \Rightarrow\ \text{極小} \end{gathered}

f′(x)=0f'(x)=0 となる xx の前後で f′(x)f'(x) の符号が ++ から −- に変われば極大、−- から ++ に変われば極小です。極値は元の関数に代入して求めます。たとえば y=x3−12xy=x^3-12x は y′=3x2−12=3(x+2)(x−2)y'=3x^2-12=3(x+2)(x-2) なので、x=−2x=-2 で極大値 1616、x=2x=2 で極小値 −16-16 をとります。

xx を限りなく大きくしたときの yy は、x3x^3 の係数で決まります。係数が正なら yy は限りなく大きくなり、負なら限りなく小さくなります。

f′(x)f'(x) の符号が変わらなければ極値はありません。f′(x)=3x2+4f'(x)=3x^2+4 はつねに正なので、f(x)f(x) は増加し続け、極値を持ちません。

例題

  1. 01f′(x)f'(x) が下のどれなら、f(x)f(x) は極値を持たない？\displaystyle A3x2−3x\displaystyle 3x^{2}-3xB3x2−1\displaystyle 3x^{2}-1C3x2−3\displaystyle 3x^{2}-3D3x2+4\displaystyle 3x^{2}+4答え閉じる
    答え3x2+4\displaystyle 3x^{2}+4

    解き方

    1. 3x2\displaystyle 3x^2≥0\displaystyle \ge 0
    2. 正の定数を足すので
    3. 3x2+4\displaystyle 3x^2+4≥4>0\displaystyle \ge 4 > 0
  2. 02この3次関数は x=-2 で極大値をとる。その極大値は？y=x3−12x\displaystyle y=x^3-12x答え閉じる
    答え16\displaystyle 16

    解き方

    1. (−2)3−12⋅(−2)\displaystyle (-2)^3 - 12 \cdot (-2)=−8+24\displaystyle = -8 + 24=16\displaystyle = 16
  3. 03この3次関数は x=3 で極小値をとる。その極小値は？y=x3−27x\displaystyle y=x^3-27x答え閉じる
    答え−54\displaystyle -54

    解き方

    1. (3)3−27⋅3\displaystyle (3)^3 - 27 \cdot 3=27−81\displaystyle = 27 - 81=−54\displaystyle = -54
  4. 04この3次関数のグラフで、x を限りなく大きくすると y は？y=−x3+6x\displaystyle y=-x^3+6x答え閉じる
    答え限りなく小さくなる\displaystyle 限りなく小さくなる

    解き方

    1. lim⁡x→∞x3\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{3}=∞\displaystyle = \inftylim⁡x→∞(−x3)\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x^{3})=−∞\displaystyle = -\infty
  5. 05この3次関数のグラフで、x を限りなく大きくすると y は？y=x3−6x\displaystyle y=x^3-6x答え閉じる
    答え限りなく大きくなる\displaystyle 限りなく大きくなる

    解き方

    1. lim⁡x→∞x3\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{3}=∞\displaystyle = \infty
  6. 06この3次関数のグラフで、x を限りなく大きくすると y は？y=−x3+9x\displaystyle y=-x^3+9x答え閉じる
    答え限りなく小さくなる\displaystyle 限りなく小さくなる

    解き方

    1. lim⁡x→∞x3\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{3}=∞\displaystyle = \inftylim⁡x→∞(−x3)\displaystyle \lim_{x \to \infty} (-x^{3})=−∞\displaystyle = -\infty

よくある質問

Q1f′(x)=0f'(x)=0 となる点があれば極値を持つ？答え閉じる
A
持つとは限りません。f(x)=x3f(x)=x^3 は f′(0)=0f'(0)=0 ですが、f′(x)=3x2≥0f'(x)=3x^2\ge 0 で符号が変わらないので極値はありません。3次関数が極値を持つのは、2次式 f′(x)f'(x) の判別式が正で、f′(x)=0f'(x)=0 が異なる2つの実数解を持つときです。
Q2y=−x3+6xy=-x^3+6x で xx を大きくすると yy は？答え閉じる
A
限りなく小さくなります。−x3+6x=x3(−1+6x2)-x^3+6x=x^3\left(-1+\frac{6}{x^2}\right) と変形すると、かっこの中は −1-1 に近づくので、yy は負の側に限りなく大きな値をとっていきます。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14