平均変化率

$y$ の変化量を $x$ の変化量で割ったものが平均変化率です。グラフ上の 2 点 $(a,\,f(a))$, $(b,\,f(b))$ を結ぶ直線の傾きと同じ式です。

たとえば $y=x^2$ で $x=2$ から $5$ までなら $\dfrac{5^2-2^2}{5-2}=\dfrac{21}{3}=7$ です。$y=x^2$ では $\dfrac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$ となるので、答えは両端の和になります。

例題

1. 01$y=x^2$、$x=2\sim5$ の平均変化率は？$\displaystyle \frac{5^2 - 2^2}{5 - 2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 7$
2. 02$y=x^2$、$x=4\sim5$ の平均変化率は？$\displaystyle \frac{5^2 - 4^2}{5 - 4}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 9$
3. 03$y=x^2$、$x=2\sim4$ の平均変化率は？$\displaystyle \frac{4^2 - 2^2}{4 - 2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6$
4. 04$y=x^2$、$x=1\sim2$ の平均変化率は？$\displaystyle \frac{2^2 - 1^2}{2 - 1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$
5. 05$y=x^2$、$x=3\sim4$ の平均変化率は？$\displaystyle \frac{4^2 - 3^2}{4 - 3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 7$
6. 06$y=x^2$、$x=1\sim4$ の平均変化率は？$\displaystyle \frac{4^2 - 1^2}{4 - 1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5$

よくある質問

Q1分子と分母の引く順番は？答え閉じる

A

分子も分母も「後の値 − 前の値」でそろえます。$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ と $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$ は同じ値ですが、分子と分母で順番を混ぜると符号が逆になります。

Q2平均変化率と微分係数の関係は？答え閉じる

A

平均変化率で $b$ を $a$ に近づけた行き先が微分係数 $f'(a)$ です。2 点を結ぶ直線の傾きが、1 点での接線の傾きに近づいていきます。