数II 微分

閉区間での最大・最小

閉区間 a≤x≤ba\le x\le b での最大値・最小値は、区間の両端と区間内で f′(x)=0f'(x)=0 となる点の値を比べて決めます。

候補: f(a), f(b), f(x0)(f′(x0)=0, a<x0<b)\begin{gathered} \text{候補}:\ f(a),\ f(b),\ f(x_0) \\[4pt] (f'(x_0)=0,\ a<x_0<b) \end{gathered}

多項式のように微分できる関数では、閉区間での最大・最小は区間の端か、区間内で f′(x)=0f'(x)=0 となる点のどれかでとります。手順は 3 つです。

f′(x)=0f'(x)=0 を解き、区間の内側にある解だけを残す。端の x=a, bx=a,\ b と合わせて f(x)f(x) の値を計算する。いちばん大きい値が最大値、いちばん小さい値が最小値です。

f′(x)=0f'(x)=0 の解が x=0, 4x=0,\ 4 で区間が [1, 7][1,\ 7] なら、調べる xx は 1, 4, 71,\ 4,\ 7 です。

例題

  1. 010≦x≦2 で f'(x)=0 は x=1 だけ。最大値は？f(0)=−1,  f(1)=6,  f(2)=−2\displaystyle f(0)=-1,\; f(1)=6,\; f(2)=-2答え閉じる
    答え6\displaystyle 6

    解き方

    1. 6\displaystyle 6>−1>−2\displaystyle > -1 > -2
    2. いちばん大きいのは f(1)。答えるのは値の方
  2. 02調べる x は 0, □, 5。□ は？f′(x)=0  ⇒  x=3, 8,[0, 5]\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=3,\ 8, \\[6pt] \displaystyle [0,\ 5] \end{gathered}答え閉じる
    答え3\displaystyle 3

    解き方

    1. 停留点は区間の中にあるものだけ採る
    2. x\displaystyle x=3\displaystyle = 3
    3. x = 8 は区間の外
    4. 端を足すと
    5. x\displaystyle x=0, 3, 5\displaystyle = 0,\ 3,\ 5
  3. 03この区間で最大・最小を調べるとき、候補となる x は？f′(x)=0  ⇒  x=±3,[0, 6]\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=\pm3, \\[6pt] \displaystyle [0,\ 6] \end{gathered}答え閉じる
    答えx=0, 3, 6\displaystyle x=0,\ 3,\ 6

    解き方

    1. 停留点は区間の中にあるものだけ採る
    2. x\displaystyle x=3\displaystyle = 3
    3. x = -3 は区間の外なので数えない
    4. これに区間の端を足す
    5. x\displaystyle x=0, 3, 6\displaystyle = 0,\ 3,\ 6
  4. 04この区間で最大値をとるのは？f(x)=−x3[−1, 2]\displaystyle f(x)=-x^3 \quad [-1,\ 2]答え閉じる
    答え区間の左端\displaystyle 区間の左端

    解き方

    1. f′(x)\displaystyle f'(x)=−3x2\displaystyle = -3x^2
    2. つねに 0 以下なので減り続ける
    3. f(−1)\displaystyle f(-1)=1\displaystyle = 1f(2)\displaystyle f(2)=−8\displaystyle = -8
  5. 05この区間で最大値をとるのは？f(x)=−x3[−2, 2]\displaystyle f(x)=-x^3 \quad [-2,\ 2]答え閉じる
    答え区間の左端\displaystyle 区間の左端

    解き方

    1. f′(x)\displaystyle f'(x)=−3x2\displaystyle = -3x^2
    2. つねに 0 以下なので減り続ける
    3. f(−2)\displaystyle f(-2)=8\displaystyle = 8f(2)\displaystyle f(2)=−8\displaystyle = -8
  6. 06この区間で最大値をとるのは？f(x)=x3[−1, 3]\displaystyle f(x)=x^3 \quad [-1,\ 3]答え閉じる
    答え区間の右端\displaystyle 区間の右端

    解き方

    1. f′(x)\displaystyle f'(x)=3x2\displaystyle = 3x^2
    2. つねに 0 以上なので増え続ける
    3. f(−1)\displaystyle f(-1)=−1\displaystyle = -1f(3)\displaystyle f(3)=27\displaystyle = 27

よくある質問

Q1極大値がそのまま最大値になる？答え閉じる
A
なるとは限りません。−2≤x≤2-2\le x\le2 で f(−1)=−1f(-1)=-1 が極値でも、端の f(2)=7f(2)=7 のほうが大きければ最大値は 77 です。端の値も必ず比べます。
Q2f′(x)=0f'(x)=0 の解が区間の外にあるときは？答え閉じる
A
その解は候補から外します。区間内に f′(x)=0f'(x)=0 の点がなければ f(x)f(x) は区間で単調なので、両端の値だけで最大・最小が決まります。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14