曲線外の点から引いた接線

曲線の外の点から接線を引くときは、接点が分からないので、まず接点を $(t,\ f(t))$ と文字で置きます。その点での接線は

これが点 $(p,\ q)$ を通るので、$x=p$、$y=q$ を代入した $q-f(t)=f'(t)(p-t)$ を $t$ について解きます。

たとえば $y=x^2$ に点 $(0,\ -4)$ から引くと、接線は $y=2t(x-t)+t^2$ で、$-4=-2t^2+t^2$ より $t=\pm 2$。接線は $y=4x-4$ と $y=-4x-4$ の 2 本です。

例題

1. 01この接点での接線の傾きは？$\displaystyle y=x^{2}, \quad (t,\ t^{2})$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2t$

   解き方

   1. $\displaystyle y$$\displaystyle = x^{2}$
   2. 微分すると
   3. $\displaystyle y'$$\displaystyle = 2x$
   4. x = t での値が接線の傾き
   5. $\displaystyle y'(t)$$\displaystyle = 2t$
2. 02この接線が点 (0, -2) を通る条件の式は？$\displaystyle y = 2t(x-t)+t^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle -2 = -2t^{2}+t^{2}$

   解き方

   1. $\displaystyle 2t(0-t)+t^{2}$$\displaystyle = -2t^{2}+t^{2}$
   2. これが -2 に等しい、が「通る」の中身
3. 03t を求めると？$\displaystyle -t^{2} = -16$答え閉じる

   答え$\displaystyle t=\pm 4$

   解き方

   1. $\displaystyle -t^{2} = -16$$\displaystyle \Rightarrow t^{2} = 16$
   2. 2乗して 16 になる数は2つある
   3. $\displaystyle t$$\displaystyle = \pm 4$
   4. 接線が2本引けるのはこのため
4. 04この曲線上の接点を (t, □) と置く。□ は？$\displaystyle y=x^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle t^{2}$

   解き方

   1. 曲線の上の点なので、式に t を入れる
   2. $\displaystyle y$$\displaystyle = x^{2}$$\displaystyle x = t$$\displaystyle \Rightarrow y = t^{2}$
5. 05$x=-2$ での接線の傾きの値はどれ？$\displaystyle f(x)=x^{2}$A$\displaystyle -2$B$\displaystyle f'(x)$C$\displaystyle f(-2)$D$\displaystyle f'(-2)$答え閉じる

   答え$\displaystyle f'(-2)$
6. 06$x=2$ での接線。□ は？$\displaystyle f(x)=x^{2} \;\Rightarrow\; y=\square(x-2)+4$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

よくある質問

Q1通る点 $(p,\ q)$ をそのまま接線の公式に入れてはだめ？答え閉じる

A

だめです。接線の公式 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ の $(a,\ f(a))$ は曲線上の接点です。曲線外の点は接点ではないので、接点を $t$ で置いてから通る条件を使います。

Q2接線は何本引ける？答え閉じる

A

$t$ の方程式の実数解の個数だけ接点があります。$y=x^2$ では異なる $t$ ごとに別の接線になるので、解が 2 つなら接線は 2 本です。