数II 積分

交点を求めてから面積

2曲線で囲まれた面積は、まず2つの式を等しいとおいて交点の xx 座標を求め、それを積分の下端と上端にします。

f(x)=g(x) ⇒ x=α, β,S=∫αβ{g(x)−f(x)} dx(g(x)≥f(x))\begin{gathered} f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ x=\alpha,\ \beta, \\[4pt] S=\int_\alpha^\beta\{g(x)-f(x)\}\,dx\quad(g(x)\ge f(x)) \end{gathered}

y=x2y=x^2 と y=x+12y=x+12 の交点は、x2=x+12x^2=x+12 すなわち x2−x−12=(x+3)(x−4)=0x^2-x-12=(x+3)(x-4)=0 から x=−3, 4x=-3,\ 4 です。

S=∫−34{(x+12)−x2} dxS=\int_{-3}^{4}\{(x+12)-x^2\}\,dx

交点の間では直線が放物線より上にあるので、直線の式から放物線の式を引きます。交点の xx 座標の小さいほうを下端、大きいほうを上端にします。

例題

  1. 01□ に入る数は？y=x2,y=25  ⇒  x=±□\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle y=x^2, \\[6pt] \displaystyle y=25 \;\Rightarrow\; x=\pm\square \end{gathered}答え閉じる
    答え5\displaystyle 5

    解き方

    1. x2=25\displaystyle x^2 = 25⇒x=±5\displaystyle \Rightarrow x = \pm 5
  2. 022曲線の交点の x座標は？y=x2,y=x+12\displaystyle y=x^2,\quad y=x+12答え閉じる
    答えx=−3, 4\displaystyle x=-3,\ 4

    解き方

    1. x2−(x+12)\displaystyle x^2 - (x+12)=(x+3)(x−4)\displaystyle = (x+3)(x-4)
    2. 積が 0 なので、どちらかが 0
    3. (x+3)(x−4)=0\displaystyle (x+3)(x-4) = 0⇒x=−3\displaystyle \Rightarrow x = -3(x+3)(x−4)=0\displaystyle (x+3)(x-4) = 0⇒x=4\displaystyle \Rightarrow x = 4
  3. 032曲線の交点の x座標は？y=x2,y=−x+12\displaystyle y=x^2,\quad y=-x+12答え閉じる
    答えx=−4, 3\displaystyle x=-4,\ 3

    解き方

    1. x2−(−x+12)\displaystyle x^2 - (-x+12)=(x+4)(x−3)\displaystyle = (x+4)(x-3)
    2. 積が 0 なので、どちらかが 0
    3. (x+4)(x−3)=0\displaystyle (x+4)(x-3) = 0⇒x=−4\displaystyle \Rightarrow x = -4(x+4)(x−3)=0\displaystyle (x+4)(x-3) = 0⇒x=3\displaystyle \Rightarrow x = 3
  4. 042曲線の交点の x座標は？y=x2,y=−x+2\displaystyle y=x^2,\quad y=-x+2答え閉じる
    答えx=−2, 1\displaystyle x=-2,\ 1

    解き方

    1. x2−(−x+2)\displaystyle x^2 - (-x+2)=(x+2)(x−1)\displaystyle = (x+2)(x-1)
    2. 積が 0 なので、どちらかが 0
    3. (x+2)(x−1)=0\displaystyle (x+2)(x-1) = 0⇒x=−2\displaystyle \Rightarrow x = -2(x+2)(x−1)=0\displaystyle (x+2)(x-1) = 0⇒x=1\displaystyle \Rightarrow x = 1
  5. 052曲線の交点の x座標は？y=x2,y=2x\displaystyle y=x^2,\quad y=2x答え閉じる
    答えx=0, 2\displaystyle x=0,\ 2

    解き方

    1. x2−2x\displaystyle x^2 - 2x=x(x−2)\displaystyle = x(x-2)
    2. 積が 0 なので、どちらかが 0
    3. x(x−2)=0\displaystyle x(x-2) = 0⇒x=0\displaystyle \Rightarrow x = 0x(x−2)=0\displaystyle x(x-2) = 0⇒x=2\displaystyle \Rightarrow x = 2
  6. 062曲線の交点の x座標は？y=x2,y=x+2\displaystyle y=x^2,\quad y=x+2答え閉じる
    答えx=−1, 2\displaystyle x=-1,\ 2

    解き方

    1. x2−(x+2)\displaystyle x^2 - (x+2)=(x+1)(x−2)\displaystyle = (x+1)(x-2)
    2. 積が 0 なので、どちらかが 0
    3. (x+1)(x−2)=0\displaystyle (x+1)(x-2) = 0⇒x=−1\displaystyle \Rightarrow x = -1(x+1)(x−2)=0\displaystyle (x+1)(x-2) = 0⇒x=2\displaystyle \Rightarrow x = 2

よくある質問

Q1y=x2y=x^2 と y=25y=25 の交点は x=5x=5 だけ？答え閉じる
A
x2=25x^2=25 の解は x=±5x=\pm 5 の2つです。2つのグラフは x=−5x=-5 と x=5x=5 で交わり、囲まれた部分は −5≤x≤5-5\le x\le 5 の範囲になります。
Q2x2=3xx^2=3x の両辺を xx で割ってはいけない？答え閉じる
A
xx で割ってよいのは x≠0x\ne 0 のときだけなので、x=0x=0 の解が消えてしまいます。x2−3x=x(x−3)=0x^2-3x=x(x-3)=0 と因数分解すれば、x=0, 3x=0,\ 3 の両方が出ます。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14