定積分の性質

上端と下端を入れかえると、値の符号が逆になります。$\int_2^4 f(x)\,dx=-9$ なら $\int_4^2 f(x)\,dx=9$ です。

区間を途中の $b$ で分けるときは、前の積分の上端と後ろの積分の下端を同じ $b$ にします。定数倍は外に出せるので、$\int_0^1 f(x)\,dx=2$ なら $\int_0^1 3f(x)\,dx=3\cdot 2=6$ です。

例題

1. 01□ に入る数は？$\displaystyle \int_{1}^{4} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{\square}^{4} f(x)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{1}^{4} f(x)\,dx$$\displaystyle = \int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{4} f(x)\,dx$
2. 02この定積分の値は？$\displaystyle \int_{6}^{6} f(x)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle 6 \le x \le 6$$\displaystyle \Rightarrow \int_{6}^{6} f(x)\,dx = 0$
3. 03$\int_{4}^{2} f(x)\,dx$ は？$\displaystyle \int_{2}^{4} f(x)\,dx = -9$答え閉じる

   答え$\displaystyle 9$
4. 04$\int_{0}^{1} 3f(x)dx$ は？$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6$
5. 05□ に入る数は？$\displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\,dx = \int_{2}^{3} f(x)\,dx + \int_{\square}^{5} f(x)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\,dx$$\displaystyle = \int_{2}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx$
6. 06□ に入る数は？$\displaystyle \int_{1}^{5} f(x)\,dx = \int_{1}^{3} f(x)\,dx + \int_{\square}^{5} f(x)\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{1}^{5} f(x)\,dx$$\displaystyle = \int_{1}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx$

よくある質問

Q1区間を分けるとき、$b$ は $a$ と $c$ の間にないといけない？答え閉じる

A

$a,\ b,\ c$ の大小に関係なく成り立ちます($f(x)$ がこれらを含む区間で連続のとき)。$b$ が $c$ より大きい場合も、$\int_b^c f(x)\,dx=-\int_c^b f(x)\,dx$ によって余分な部分が打ち消されます。