定積分を含む関数の決定

$\int_0^3 f(t)\,dt$ は $x$ を含まない定数です。これを $k$ とおくと、$f(x)=2x+\int_0^3 f(t)\,dt$ は $f(x)=2x+k$ と書けます。この $f$ を $[0,3]$ で積分すると、もう一度 $k$ になるはずです。

これを解くと $k=-\frac{9}{2}$ で、$f(x)=2x-\frac{9}{2}$ と決まります。手順は「定積分を $k$ とおく」「$f(x)$ を $k$ で表す」「その式を積分して $k$ の方程式を作る」の3段です。

例題

1. 01f(x) は？$\displaystyle f(x)=6x+k, \quad k=-12$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x-12$

   解き方

   1. k を入れる
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 6x-12$
   3. この f を積分すると k に戻る
   4. $\displaystyle \int_{0}^{2} (6x-12)\,dx$$\displaystyle = -12$
2. 02これを [0, 3] で積分すると？$\displaystyle f(x)=2x+k$答え閉じる

   答え$\displaystyle 9+3k$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{0}^{3} 2x\,dx$$\displaystyle = 9$
   2. k も x で積分するので、区間の長さが掛かる
   3. $\displaystyle \int_{0}^{3} k\,dx$$\displaystyle = 3k$
3. 03f(x) を k で表すと？$\displaystyle f(x) = 6x + \int_{0}^{3} f(t)\,dt,\; \int_{0}^{3} f(t)\,dt = k$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6x+k$

   解き方

   1. 積分の部分は数なので k と置く
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 6x+k$
   3. k は数。x は掛からない
4. 04k を求めると？$\displaystyle k = 48+4k$答え閉じる

   答え$\displaystyle -16$

   解き方

   1. $\displaystyle k = 48+4k$$\displaystyle \Rightarrow -3k = 48$
   2. 両辺を -3 で割る
   3. $\displaystyle k$$\displaystyle = -16$
   4. 入れ直すと合う
   5. $\displaystyle 48 + 4 \cdot (-16)$$\displaystyle = -16$
5. 05f(x) を k で表すと？$\displaystyle f(x) = 2x + \int_{0}^{3} f(t)\,dt,\; \int_{0}^{3} f(t)\,dt = k$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2x+k$

   解き方

   1. 積分の部分は数なので k と置く
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 2x+k$
   3. k は数。x は掛からない
6. 06f(x) は？$\displaystyle f(x)=4x+k, \quad k=-8$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4x-8$

   解き方

   1. k を入れる
   2. $\displaystyle f(x)$$\displaystyle = 4x-8$
   3. この f を積分すると k に戻る
   4. $\displaystyle \int_{0}^{2} (4x-8)\,dx$$\displaystyle = -8$

よくある質問

Q1なぜ $\int_a^b f(t)\,dt$ を定数とおける？答え閉じる

A

上端と下端がどちらも数なので、積分した結果に $x$ が残らず、1つの数になるからです。上端が $x$ の $\int_a^x f(t)\,dt$ は $x$ の関数なので、定数とはおけません。

Q2積分の変数が $t$ になっているのはなぜ？答え閉じる

A

$f(x)$ の式の $x$ と区別するためです。定積分の値は積分に使う文字によらないので、$\int_0^3 f(t)\,dt=\int_0^3 f(x)\,dx$ です。