1/6 公式

放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線の交点の $x$ 座標を $\alpha<\beta$ とすると、2 式の差は $a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できます。上の積分公式から、囲まれた面積は次のようになります。

$a$ は差をとった式の $x^2$ の係数です。$y=4x^2-4x$ と $y=4x$ なら、差は $4x^2-8x=4x(x-2)$ なので $a=4$、$\alpha=0$、$\beta=2$ で、$S=\frac{4}{6}\cdot 2^3=\frac{16}{3}$ です。

例題

1. 01$a=2$、$\beta-\alpha=4$ と分かった。面積は？$\displaystyle \text{area} = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{64}{3}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{2}{6}\cdot4^3$$\displaystyle = \frac{128}{6}$$\displaystyle = \frac{64}{3}$
2. 02面積 $=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ の $a$ は？$\displaystyle y=5x^2-2x,\quad y=2x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5$

   解き方

   1. $\displaystyle 5x^2-2x = 2x$$\displaystyle \Rightarrow 5x^2-4x = 0$
   2. x² の係数を読む
   3. $\displaystyle a$$\displaystyle = 5$
3. 031/6公式が使えないのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle 上に凸な放物線と直線が囲む部分$B$\displaystyle 放物線と x軸が囲む部分$C$\displaystyle 3次曲線と直線が囲む部分$D$\displaystyle 放物線と直線が囲む部分$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3次曲線と直線が囲む部分$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$$\displaystyle = -\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3$
4. 04面積 $=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ の $a$ は？$\displaystyle y=2x^2-x,\quad y=x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. $\displaystyle 2x^2-x = x$$\displaystyle \Rightarrow 2x^2-2x = 0$
   2. x² の係数を読む
   3. $\displaystyle a$$\displaystyle = 2$
5. 05面積 $=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ の $a$ は？$\displaystyle y=4x^2-5x,\quad y=5x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. $\displaystyle 4x^2-5x = 5x$$\displaystyle \Rightarrow 4x^2-10x = 0$
   2. x² の係数を読む
   3. $\displaystyle a$$\displaystyle = 4$
6. 06面積 $=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ の $a$ は？$\displaystyle y=2x^2-3x,\quad y=3x$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. $\displaystyle 2x^2-3x = 3x$$\displaystyle \Rightarrow 2x^2-6x = 0$
   2. x² の係数を読む
   3. $\displaystyle a$$\displaystyle = 2$

よくある質問

Q1$a$ は直線の係数？放物線の係数？答え閉じる

A

差をとった2次式の $x^2$ の係数です。放物線と直線なら放物線の $x^2$ の係数と同じになります。放物線どうしなら、2つの $x^2$ の係数の差が $a$ です。

Q2どんなときに使えない？答え閉じる

A

差が2次式にならないときです。たとえば3次曲線と直線が囲む部分は、差が3次式になるので 1/6 公式はそのままでは使えません。