面積を短冊で近似する

区間 $a\le x\le b$ を $n$ 等分すると、短冊 1 本の幅は $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ です。各短冊の高さを左端の $x$ での $f(x)$ にとると、短冊の面積の和で曲線の下の面積を近似できます。

たとえば $y=x^2$, $0\le x\le 1$ を 4 等分すると幅は $\dfrac14$、左端は $x=0,\ \dfrac14,\ \dfrac12,\ \dfrac34$ です。4 本目の高さは $\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac{9}{16}$ で、和は

です。短冊を細くしていくと、この和は曲線の下の面積(この場合は $\dfrac13$)に近づきます。これが定積分の考え方のもとです。

例題

1. 01$4$ 等分して左端で高さを取る。$4$ 本目の短冊の高さは？$\displaystyle y=x^{2}, \quad 0 \le x \le 1$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{9}{16}$

   解き方

   1. $\displaystyle x$$\displaystyle = \frac{3}{4}$
   2. そこでの高さは
   3. $\displaystyle y$$\displaystyle = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$
2. 02この区間を $4$ 等分するとき、短冊1本の幅は？$\displaystyle 0 \le x \le 3$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{3}{4}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{3 - 0}{4}$$\displaystyle = \frac{3}{4}$
3. 03短冊を細くしていくと、短冊の面積の和はどうなる？$\displaystyle$A$\displaystyle 変わらない$B$\displaystyle 曲線の下の面積に近づく$C$\displaystyle 短冊の本数に近づく$D$\displaystyle いくらでも大きくなる$答え閉じる

   答え$\displaystyle 曲線の下の面積に近づく$

   解き方

   1. $\displaystyle y$$\displaystyle = x^2$
   2. 本数を増やしていくと
   3. $\displaystyle n=4$$\displaystyle \Rightarrow \frac{7}{32}$$\displaystyle n=8$$\displaystyle \Rightarrow \frac{35}{128}$$\displaystyle n=16$$\displaystyle \Rightarrow \frac{155}{512}$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$$\displaystyle = \frac{1}{3}$
4. 04この区間を $3$ 等分するとき、短冊1本の幅は？$\displaystyle 0 \le x \le 6$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{6 - 0}{3}$$\displaystyle = 2$
5. 05この区間を $3$ 等分するとき、短冊1本の幅は？$\displaystyle 0 \le x \le 4$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{4}{3}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{4 - 0}{3}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$
6. 06この区間を $6$ 等分するとき、短冊1本の幅は？$\displaystyle 0 \le x \le 2$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{3}$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{2 - 0}{6}$$\displaystyle = \frac{1}{3}$

よくある質問

Q1高さは左端・右端のどちらでとる？答え閉じる

A

どちらでも短冊を細くしていけば同じ面積に近づきます(連続な関数の場合)。分割が粗いうちは値が違い、$y=x^2$ のように増加する関数では左端だと小さめ、右端だと大きめになります。

Q24 等分で左端なら、4 本目の短冊の左端はどこ？答え閉じる

A

$x=a+3\Delta x$ です。1 本目の左端が $x=a$($k=0$)なので、4 本目は $k=3$ になります。$0\le x\le 1$ なら $x=\dfrac34$ です。