偶関数・奇関数の定積分

$f(-x)=f(x)$ を満たす関数を偶関数、$f(-x)=-f(x)$ を満たす関数を奇関数といいます。$x^2$、$x^4$、定数は偶関数、$x$、$x^3$、$x^5$ は奇関数です。

偶関数のグラフは $y$ 軸に関して対称なので左右の面積が等しく、奇関数のグラフは原点に関して対称なので左右が打ち消し合います。たとえば $\int_{-1}^{1} x^4\,dx=2\int_{0}^{1} x^4\,dx=\frac{2}{5}$ です。

例題

1. 01奇関数はどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle 2$B$\displaystyle x^{2}$C$\displaystyle x^{5}$D$\displaystyle x^{2}+1$答え閉じる

   答え$\displaystyle x^{5}$

   解き方

   1. $\displaystyle (-x)^{5}$$\displaystyle = -x^{5}$
   2. 一方、偶数乗は符号が変わらない
   3. $\displaystyle (-x)^{2}$$\displaystyle = x^{2}$
2. 02f(x) が奇関数のとき □ は？$\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \square$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{-1}^{0} x^{3}\,dx$$\displaystyle = -\frac{1}{4}$$\displaystyle \int_{0}^{1} x^{3}\,dx$$\displaystyle = \frac{1}{4}$
   2. 足すと打ち消す
   3. $\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{3}\,dx$$\displaystyle = 0$
3. 03f(-x) は？$\displaystyle f(x)=x^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x^{2}$

   解き方

   1. $\displaystyle (-x)^{2}$$\displaystyle = (-1)^{2}x^{2}$$\displaystyle = x^{2}$
4. 04$x^{4}$ は偶関数である。この定積分の値は？$\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{4}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{2}{5}$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\,dx$$\displaystyle = \frac{1}{5}$
   2. 偶関数なので片側の2倍
   3. $\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{4}\,dx$$\displaystyle = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
5. 05この定積分の値は？$\displaystyle \int_{-3}^{3} x^{5}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. $\displaystyle \int_{-3}^{0} x^{5}\,dx$$\displaystyle = -\frac{243}{2}$$\displaystyle \int_{0}^{3} x^{5}\,dx$$\displaystyle = \frac{243}{2}$
   2. 足すと打ち消す
   3. $\displaystyle \int_{-3}^{3} x^{5}\,dx$$\displaystyle = 0$
6. 06f(-x) と f(x) の関係として正しいのは？$\displaystyle f(x)=x^{5}+5$答え閉じる

   答え$\displaystyle どれも成り立たない$

   解き方

   1. $\displaystyle f(-x)$$\displaystyle = -x^{5}+5$

よくある質問