数II 積分

定積分で表された関数の微分

aa が定数のとき、∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt を xx で微分すると、被積分関数の tt を xx にかえた f(x)f(x) になります。

ddx∫axf(t) dt=f(x)(a は定数)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\quad(a\ \text{は定数})

∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt は上端の xx によって値が変わる、xx の関数です。f(t)f(t) の原始関数を F(t)F(t) とすると F(x)−F(a)F(x)-F(a) で、F(a)F(a) は定数なので微分すると消えます。

ddx∫axf(t) dt=F′(x)=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=F'(x)=f(x)

たとえば ∫3xt2 dt=x33−9\int_3^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}-9 を微分すると x2x^2 で、積分を計算しなくても t2t^2 の tt を xx にかえるだけで答えが出ます。

例題

  1. 01この計算ができた。これを微分すると？∫3xt2 dt=x33−9\displaystyle \int_{3}^{x} t^{2}\,dt = \frac{x^{3}}{3} - 9答え閉じる
    答えx2\displaystyle x^{2}

    解き方

    1. 下端から来た項は定数なので消える
    2. ddx(x33−9)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3} - 9\right)=x2\displaystyle = x^{2}
  2. 02計算すると？ddx∫0xt3 dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^{3}\,dt答え閉じる
    答えx3\displaystyle x^{3}

    解き方

    1. ∫0xf(t) dt\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(0)\displaystyle = F(x) - F(0)
    2. F(0) は定数なので、微分すると消える
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
    4. 中身の t を x にするだけ
    5. ddx∫0xt3 dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^{3}\,dt=x3\displaystyle = x^{3}
  3. 03この式に x=3 を入れると？ddx∫1x(t2+1) dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x} (t^{2}+1)\,dt答え閉じる
    答え10\displaystyle 10

    解き方

    1. ∫1xf(t) dt\displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(1)\displaystyle = F(x) - F(1)
    2. F(1) は定数なので、微分すると消える
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
    4. 中身の t を x にするだけ
    5. ddx∫1x(t2+1) dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x} (t^{2}+1)\,dt=x2+1\displaystyle = x^{2}+1
    6. そのあと x = 3 を入れる
    7. 32+1\displaystyle 3^{2}+1=10\displaystyle = 10
  4. 04□ に入るのは？ddx∫axf(t) dt=□\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = \square答え閉じる
    答えf(x)\displaystyle f(x)

    解き方

    1. ∫axf(t) dt\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(a)\displaystyle = F(x) - F(a)
    2. F(a) は定数なので、微分すると消える
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
  5. 05この式が表すのは？∫2xt4 dt\displaystyle \int_{2}^{x} t^{4}\,dt答え閉じる
    答えxの関数\displaystyle x の関数

    解き方

    1. ∫2xt4 dt\displaystyle \int_{2}^{x} t^{4}\,dt=x55−255\displaystyle = \frac{x^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}
    2. x が残るので x の関数
  6. 06この式が表すのは？∫2xt3 dt\displaystyle \int_{2}^{x} t^{3}\,dt答え閉じる
    答えxの関数\displaystyle x の関数

    解き方

    1. ∫2xt3 dt\displaystyle \int_{2}^{x} t^{3}\,dt=x44−244\displaystyle = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4}
    2. x が残るので x の関数

よくある質問

Q1下端の aa は答えに関係する？答え閉じる
A
関係しません。aa が変わると F(a)F(a) という定数が変わるだけで、微分すると 00 になります。ddx∫1x(t2+1) dt\frac{d}{dx}\int_1^x(t^2+1)\,dt も ddx∫2x(t2+1) dt\frac{d}{dx}\int_2^x(t^2+1)\,dt も x2+1x^2+1 です。
Q2∫24t3 dt\int_2^4 t^3\,dt も xx の関数？答え閉じる
A
違います。上端も下端も数なので、値は xx によらない定数(6060)です。xx の関数になるのは、端に xx が入っているときです。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14