部分分数分解と積分

$\frac{1}{(x-4)(x+4)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+4}$ の両辺に $(x-4)(x+4)$ を掛けると $1=A(x+4)+B(x-4)$ です。$x=4$ を代入すると $A=\frac{1}{8}$、$x=-4$ を代入すると $B=-\frac{1}{8}$ が出ます。

分けた後は1つずつ積分します。

$\int\frac{1}{x-a}\,dx=\log|x-a|+C$ を使うので、絶対値を付けるのを忘れないようにします。

例題

1. 01積分すると？$\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+2}\right)dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \log_e|x-3| - \log_e|x+2|+C$

   解き方

   1. どちらも $\frac{1}{x}$ の形なので $\log$ になる。引き算はそのまま引き算
   2. $\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}\right)dx$$\displaystyle = \log_e|x-3|-\log_e|x+2|+C$
   3. 差を和にしない。和にすると別の関数になる
2. 02A は？$\displaystyle \frac{1}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{8}$

   解き方

   1. 両辺に $x-4$ を掛けると、左は $\frac{1}{x+4}$ になる。そこに $x=4$ を入れる
   2. $\displaystyle \frac{1}{4+4}$$\displaystyle = \frac{1}{8}$
   3. $B$ も同じやり方。$x=-4$ を入れるので符号が逆になる
3. 03□ に入るのは？$\displaystyle \frac{2}{(x-4)(x+1)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{\square}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x+1$

   解き方

   1. バラした先の分母は、因数分解した形の因数をそのまま1つずつ使う
   2. $(x-4)(x+1)$ の因数は $x-4$ と $x+1$。符号も指数も変えない
4. 04積分すると？$\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+4}\right)dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \log_e|x-2| - \log_e|x+4|+C$

   解き方

   1. どちらも $\frac{1}{x}$ の形なので $\log$ になる。引き算はそのまま引き算
   2. $\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+4}\right)dx$$\displaystyle = \log_e|x-2|-\log_e|x+4|+C$
   3. 差を和にしない。和にすると別の関数になる
5. 05積分すると？$\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+2}\right)dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \log_e|x-4| - \log_e|x+2|+C$

   解き方

   1. どちらも $\frac{1}{x}$ の形なので $\log$ になる。引き算はそのまま引き算
   2. $\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+2}\right)dx$$\displaystyle = \log_e|x-4|-\log_e|x+2|+C$
   3. 差を和にしない。和にすると別の関数になる
6. 06A は？$\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{2}$

   解き方

   1. 両辺に $x-1$ を掛けると、左は $\frac{1}{x+1}$ になる。そこに $x=1$ を入れる
   2. $\displaystyle \frac{1}{1+1}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$
   3. $B$ も同じやり方。$x=-1$ を入れるので符号が逆になる

よくある質問

Q1$A$、$B$ を早く出すには？答え閉じる

A

両辺に分母を掛けた式に、分母が 0 になる $x$ を代入します。$1=A(x+4)+B(x-4)$ なら $x=4$ で $B$ の項が消えて $A$ だけが残ります。係数を比べる方法でも同じ答えになります。

Q2分子の次数が分母以上のときは？答え閉じる

A

先に割り算をして、多項式と、分子の次数が分母より小さい分数に分けます。部分分数に分けるのはその後です。