(ax+b) 型の置換積分

$t=ax+b$ と置くと $dt=a\,dx$、つまり $dx=\frac{1}{a}\,dt$ です。この $\frac{1}{a}$ が係数として前に出ます。

答えを微分すると、合成関数の微分で中身の微分 $a$ が掛かります。$\frac{1}{a}$ はそれを打ち消すために付いています。$a=1$ なら $\frac{1}{a}=1$ なので、$x^n$ の公式と同じ形です。

例題

1. 01積分せよ$\displaystyle \int \left(3x + 2\right)^{3} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{\left(3x + 2\right)^{4}}{12} + C$
2. 02積分せよ$\displaystyle \int \left(3x + 2\right)^{2} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{\left(3x + 2\right)^{3}}{9} + C$
3. 03積分せよ$\displaystyle \int \left(x + 2\right)^{3} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{\left(x + 2\right)^{4}}{4} + C$
4. 04積分せよ$\displaystyle \int \left(x + 3\right)^{4} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{\left(x + 3\right)^{5}}{5} + C$
5. 05積分せよ$\displaystyle \int \left(2x + 2\right)^{3} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{\left(2x + 2\right)^{4}}{8} + C$
6. 06積分せよ$\displaystyle \int \left(x + 1\right)^{2} \, dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3} + C$

よくある質問

Q1なぜ $\frac{1}{a}$ が付く？答え閉じる

A

答えを微分して確かめると分かります。$\left\{\frac{(3x+2)^{4}}{12}\right\}'=\frac{4(3x+2)^{3}\cdot 3}{12}=(3x+2)^{3}$ です。中身の微分の $3$ が出てくるので、あらかじめ $\frac{1}{3}$ を掛けておきます。

Q2$n=-1$ のときは？答え閉じる

A

この公式は使えません。$\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\log|ax+b|+C$ になります。$\frac{1}{a}$ が付くのは同じです。