数III 積分

定積分の部分積分法

定積分の部分積分法は ∫abuv′ dx=[uv]ab−∫abu′v dx\int_{a}^{b} uv'\,dx=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'v\,dx で、uvuv の項にも端の値を代入します。

∫abuv′ dx=[uv]ab−∫abu′v dx\begin{gathered} \int_{a}^{b} uv'\,dx \\[4pt] =\left[uv\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'v\,dx \end{gathered}

不定積分の部分積分と同じく、微分すると簡単になる方を uu、積分しやすい方を v′v' にします。違いは、取り出した uvuv の項にも aa、bb を代入して数にすることです。

∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=e−(e−1)=1\begin{gathered} \int_{0}^{1} xe^{x}\,dx \\[4pt] =\left[xe^{x}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} e^{x}\,dx \\[4pt] =e-(e-1) \\[4pt] =1 \end{gathered}

この例では u=xu=x、v′=exv'=e^{x} なので v=exv=e^{x} です。[xex]01=e\left[xe^{x}\right]_{0}^{1}=e と ∫01ex dx=e−1\int_{0}^{1}e^{x}\,dx=e-1 を別々に計算してから引きます。

例題

  1. 01この値は？∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1} xe^{x}\,dx = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\,dx答え閉じる
    答え1\displaystyle 1

    解き方

    1. [uv][uv] は先に端点を入れて数にする
    2. 1⋅e1−0⋅e0\displaystyle 1 \cdot e^{1} - 0 \cdot e^{0}=e\displaystyle = e
    3. 残った積分も数にする
    4. ∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx=e−1\displaystyle = e-1
    5. 引く。引き忘れると ee のまま残る
    6. e−(e−1)\displaystyle e-(e-1)=1\displaystyle = 1
  2. 02v は？u=x,v′=cos⁡x\displaystyle u=x, \quad v'=\cos x答え閉じる
    答えsin⁡x\displaystyle \sin x

    解き方

    1. vv は v′v' を積分したもの。cos⁡x\cos x の積分は符号が変わらない
    2. ∫cos⁡x dx\displaystyle \int \cos x\,dx=sin⁡x+C\displaystyle = \sin x+C
    3. マイナスが付くのは sin⁡\sin を積分したとき
  3. 03□ に入るのは？∫abuv′ dx=[uv]ab−∫ab□ dx\displaystyle \int_{a}^{b} uv'\,dx = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \square\,dx答え閉じる
    答えu′v\displaystyle u'v

    解き方

    1. 積の微分 (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' を、uv′uv' について解いた形が公式
    2. uv′=(uv)′−u′vuv'=(uv)'-u'v の両辺を積分すると、(uv)′(uv)' の積分が [uv][uv] になり、残りが −∫u′v-\int u'v
    3. ダッシュが付き替わる。引く方は u′vu'v で、uv′uv' のままではない
  4. 04この値は？∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx答え閉じる
    答えe−1\displaystyle e-1

    解き方

    1. exe^{x} の積分は exe^{x}。上の端から下の端を引く
    2. e1−e0\displaystyle e^{1}-e^{0}=e−1\displaystyle = e-1
    3. e0=1e^{0}=1 を引くので、ee そのものにはならない
  5. 05この値は？e−(e−1)\displaystyle e - (e-1)答え閉じる
    答え1\displaystyle 1

    解き方

    1. かっこを外すと ee が打ち消し合う
    2. e−(e−1)\displaystyle e-(e-1)=e−e+1\displaystyle = e-e+1=1\displaystyle = 1
    3. かっこの前がマイナスなので、中の −1-1 は +1+1 になる
  6. 06この値は？[x2]02\displaystyle [x^{2}]_{0}^{2}答え閉じる
    答え4\displaystyle 4

    解き方

    1. 上の端を入れた値から、下の端を入れた値を引く
    2. 22−02\displaystyle 2^{2} - 0^{2}=4\displaystyle = 4

よくある質問

Q1vv を求めるとき積分定数は付ける？答え閉じる
A
付けなくてかまいません。v′v' の原始関数を 1 つ選べばよく、v′=cos⁡xv'=\cos x なら v=sin⁡xv=\sin x とします。
Q2引く方の積分も区間はそのまま？答え閉じる
A
そのままです。[uv]ab\left[uv\right]_{a}^{b} も ∫abu′v dx\int_{a}^{b} u'v\,dx も同じ aa から bb で計算します。マイナスを後ろの積分全体に掛けるのを忘れないようにします。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14